פונקציה רב-ערכית

במתמטיקה, פוּנְקְצְיָה רַב־עֶרְכִּית היא יחס מלא. כלומר, לכל איבר (ערך) בקבוצת התחום מותאם איבר (ערך) אחד לפחות בקבוצת הטווח. בשל ריבוי הערכים האפשרי, השם "פונקציה רב-ערכית" הוא מטעה מעט, שכן פונקציה צריכה להתאים לכל איבר בתחום איבר אחד ויחיד מהטווח. עם זאת, ניתן להסתכל על פונקציה רב-ערכית מהתחום A לטווח B בתור פונקציה חד-ערכית מהתחום A לקבוצת החזקה של B (כלומר, כפונקציה שמתאימה לכל איבר ב-A קבוצה של איברים מתוך B) ואז ההגדרה היא תקינה פורמלית.

דוגמאות

פונקציית השורש הריבועי היא פונקציה רב-ערכית מעל המרוכבים, שכן לכל מספר ממשי או מרוכב יש בדיוק שני שורשים מרוכבים (על פי המשפט היסודי של האלגברה), כשהמספר שונה מ-0 הם שונים. לכן פונקציית השורש הריבועי, כשהיא מופעלת על מספר כלשהו, מחזירה שני ערכים. מכיוון ששני המספרים נבדלים ביניהם רק בסימנם, נהוג לרוב לצמצם את הפונקציה כך שתחזיר רק את הערך החיובי מבין השניים, ואז היא פונקציה חד-ערכית תקינה.

הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן רב-ערכיות שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות. למשל, מתקיים $\sin 0=\sin \pi =\sin 2\pi =\dots =0$ ולכן ניתן לחשוב על $\ \arcsin 0$ כמחזירה ערכים רבים, ביניהם $\ 0,\pi ,2\pi \dots$. לכן נהוג לצמצם גם את הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות לקטע שבו הן חד-ערכיות, למשל $\ [-\pi /2,\pi /2]$.

באופן כללי, הגבלת טווח הערכים של פונקציה לכזה שבו הפונקציה חד-ערכית נקרא "לקיחת ענף". באופן פורמלי יותר, ענף של פונקציה רב ערכית הוא פונקציה חד-ערכית, שהערך שהיא מקבלת בכל נקודה שייך לקבוצת הערכים שהפונקציה הרב-ערכית יכולה לקבל באותה נקודה, ובנוסף לכך היא רציפה.

בשל דרישת הרציפות, כאשר מגדירים ענף של פונקציה עשויות להתקבל נקודות, שכאשר הפונקציה מקבלת ערכים על מסלול שמקיף אותן, היא עוברת בין ענפים שונים של הפונקציה הרב-ערכית. נקודות כאלו מכונות נקודות הסתעפות.

קישורים חיצוניים

• פונקציה רב-ערכית, באתר MathWorld (באנגלית)