פונקציה פשוטה

בתורת המידה, פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת רק מספר סופי של ערכים שונים על תתי קבוצות (בדרך כלל מדידות).

הגדרה ותכונות

פונקציה פשוטה מעל מרחב מידה $(X,S,\mu )$ היא צירוף ליניארי סופי של פונקציות מציינות. כלומר צורתה היא $\ s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)$ , כאשר $\ a_{k}$ הם סקלרים (לרוב ממשיים), ו- $\ A_{k}$ הן תתי קבוצות, לרוב קבוצות מדידות (כלומר $A_{k}\in S$ )- שכן הפונקציה $s$ מדידה אם ורק אם כל הקבוצות מדידות.

בגלל המבנה המיוחד של הפונקציות הפשוטות, התכונות שלהן נובעות באופן ישיר מהנחות מתאימות על הקבוצות במרחב המידה. באופן כזה אפשר ללמוד גם פונקציות כלליות יותר, שאותן אפשר לעיתים קרובות לקרב על ידי פונקציות פשוטות.

למעשה, כל פונקציה מדידה מורחבת, היא גבול במידה שווה של פונקציות פשוטות. כל פונקציה מדידה, אי שלילית וחסומה, היא גבול של סדרה עולה של פונקציות פשוטות, אי שליליות. כלומר, הפונקציות הפשוטות צפופות במרחב הפונקציות המדידות.

אינטגרציה

פונקציות פשוטות הן הבסיס להגדרת האינטגרל בתורת המידה.

בהינתן מרחב מידה $(X,S,\mu )$ ופונקציה פשוטה $\ s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)$ מדידה, האינטגרל שלה מוגדר כסכום הערכים כפול המידה, כלומר $\int {sd\mu }=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})$ .

במקרה שמרשים לפונקציה לקבל ערכים אינסופיים, מסכימים שכאשר המידה אפס (גם אם הערך אינסוף), הערך הוא עדיין 0 (כמו שאינטגרל של פונקציית האפס על כל הישר הוא 0).

לאינטגרל של פונקציה פשוטה מספר תכונות אלמנטריות, כמו אדיטיביות, הוצאת בסקלר (כלומר הוא מהווה פונקציונל); הוא גם מונוטוני.

לפונקציה חיובית מדידה כללית, מגדירים $\int {fd\mu }=sup\{\int {sd\mu }:s\leq f\}$ , כאשר הסופרימום רץ על כל הפונקציות הפשוטות.