עקומת השטן

עקומת השטן או עקומת קרמר היא עקומה שטוחה אשר נלמדה לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר ב-1750 ואחר-כך ב-1810 על ידי המתמטיקאי הצרפתי סילבסטר-פרנסוא לקרואה (Sylvestre-François Lacroix). מקור שמה הוא באביזר להטוטנות בשם דיאבולו אשר צורתו מזכירה את חלקה הסגור של העקומה. הצעצוע היה פופולרי בסוף המאה השמונה-עשרה. אף שהעקומה מכונה עקומת השטן, מוצא השם דיאבלו אינו מהמילה הדומה באיטלקית diavolo (שטן). השם של הצעצוע הוטבע על ידי המהנדס הצרפתי גוסטב פיליפארט שפיתח את הדיאבלו המודרני בתחילת המאה ה-20. הוא השתמש במילה היוונית dia bolo, שמשמעותה "להעיף מעבר".

משוואות

המשוואה למערכת צירים קוטבית היא:

$r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}\,$

$\rho (\theta )\,=\,{\frac {a^{2}\,sin(\theta )^{2}\,-\,b^{2}\,cos(\theta )^{2}}{sin(\theta )^{2}\,-\,cos(\theta )^{2}}}$

במערכת צירים קרטזית ניתנת העקומה כפונקציה סתומה עם משוואה ממעלה רביעית:

$y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})\,$

צורה אחרת שלה תהיה:

$x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})\cdot x^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot y^{2}=0\,$

חקירת העקומה

עקומת השטן עם הפרמטרים a=1 ו-b בשלושה ערכים: 0.98 בשחור, 0.70 בחום ו-0.50 באדום

ה-X וה-Y השונים מופיעים בתבנית ריבועית. העקומה סימטרית לאורך ציר X וציר Y ולכן גם יחסית לראשית הצירים.

העקומה מתוארת על ידי שני פרמטרים חופשיים a ו-b. ניתן לצמצם באופן משמעותי את מספר הצירופים ביניהם בלי לאבד ממגוון הצורות הניראות בגרף. מכיוון שהפרמטרים מופיעים רק בצורתם הריבועית, ניתן להצטמצם לבדיקת המקרים בהם a ו-b הם מספרים חיוביים. הצורה נקבעת על ידי היחס בין שני הפרמטרים וגדלה ביחס לריבועיהם מבלי שצורת העקומה תשתנה. לכן ניתן לבחור a קבוע ו b משתנה מ-0 ל-1.

ניתוח שלוש העקומות המופיעות בדוגמה שמשמאל: לערכים a=1 ו-b=1 מורכבת העקומה ממעגל ושני ישרים מצטלבים (בגרף הקודם). החל מ-b קטן מ-1 נוצר הדיאבולו המרכזי. הדיאבולו מצטמצם ככל ש-b מתרחק מהערך הגבולי 1. בנוסף קיימים שני מקטעים שהם תמיד אסימפטוטיים בזווית 45° עם מערכת הצירים.