על הכדור והגליל

על הכדור והגליל, דף מתוך הספר בלטינית

על הכדור והגליל (באנגלית: On the Sphere and Cylinder) היא עבודה שפורסמה בידי ארכימדס בשני כרכים בשנת 225 לפנה"ס. העבודה דנה ביחס שבין הכדור לגליל, ובאופן ראוי לציון מתארת לפרטים איך למצוא את שטח הפנים של הספירה והנפח של הכדור המוכל בה והערכים האנלוגיים עבור הגליל, והוא היה הראשון לעשות זאת.

תכנים

המשפטים המרכזיים

הנפח של הספירה ביחס לנפח של הגליל הוא כמו 2 ל 3

הנוסחאות הראשיות הנגזרות בחיבור "על הכדור והגליל" הן אלה המוזכרות לעיל: שטח הפנים של הספירה, הנפח של הכדור המוכל בה, שטח הפנים והנפח של הגליל. בעבודתו, ארכימדס הראה ששטח הפנים של הגליל שווה:

$A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)$

וכי נפח הגליל הוא:

$V_{C}=\pi r^{2}h$

על הספירה, ארכימדס הראה ששטח הפנים שלה שווה ל-4 פעמים השטח של מעגל גדול. במונחים מודרניים, שטח הפנים שווה:

$A_{S}=4\pi r^{2}$

התוצאה של הנפח של הכדור קבעה שהוא שני שלישים מנפחו של הגליל החוסם אותו, כלומר:

$V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

ארכימדס היה גאה באופן מיוחד בתוצאה האחרונה, והוא ביקש כי שרטוט של כדור חסום בגליל יחרט על מצבתו – מכיוון ש-$h=2r$, הוא הראה שגם נפח וגם שטח הפנים של הכדור הם שני שלישים מאלה של הגליל. מאוחר יותר, הפילוסוף הרומאי מרקוס טוליוס קיקרו גילה את המצבה, שנהייתה מוקפת בעבותות הצמחייה הגדלה הסובבת.

הטיעון שארכימדס השתמש בו כדי להוכיח את הנוסחה לנפח הכדור היה קשור בגאומטריה שלו, בעוד שטקסטים מודרניים רבים מספקים גרסה מפושטת באמצעות מושג הגבול, אשר כמובן שלא התקיים בזמנו של ארכימדס - טקסטים מודרניים נעזרים לעיתים קרובות באינטגרציה על נפח קליפות כדוריות בעובי אינפיניטסימלי, בהתבסס על הנוסחה לשטח פניו של הכדור. אולם ביצוע אינטגרציה כזאת דורשת הסתכלות אלגברית מפורשת, אשר התפתחה רק במאה ה-17 וכמובן שלא התקיימה בזמנו של ארכימדס. במקום זאת, ארכימדס נעזר בחצי מצולע חסום בחצי מעגל, ואז סובב את שניהם כדי ליצור קונגלומרט גאומטרי תלת־ממדי, אשר אז הוא קבע את נפחו.

ייתכן כי זו אינה הדרך המקורית בה הוא גילה את התוצאה, אלא רק הטיעון הפורמלי הטוב ביותר להציג אותה באופן שהולם את המסורת המתמטית היוונית. השיטה המקורית שלו יכולה הייתה להיות שימוש חכם במנופים, כפי שהסתבר לאחר הגילוי מחדש של הפלימפססט שלו במאה ה-19.

תוצאות ביניים חשובות

• כשהוא קבע לראשונה את שטח פניו של כדור, ארכימדס הפעיל משפט גאומטרי (אותו גילה והוכיח) השקול לזהות הטריגונומטרית הבאה:

$\sin \left({\frac {\pi }{2n}}\right)+\sin \left(2{\frac {\pi }{2n}}\right)+\cdots +\sin \left((2n-1){\frac {\pi }{2n}}\right)=\cot \left({\frac {\pi }{4n}}\right)$

זהות זו אינה פשוטה להוכחה כלל וכלל והוכחה מודרנית שלה נעזרת בשורשי יחידה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא על הכדור והגליל בוויקישיתוף