מרחב קשיר

המחשה גרפית למושג. המרחב העליון A קשיר, בעוד שהתחתון B אינו קשיר

קשירוּת היא תכונה העשויה לאפיין מרחב טופולוגי. היא מבחינה בין מרחבים שהם "חתיכה אחת" לבין מרחבים שאפשר לפרק לכמה מרכיבים שונים.

דוגמאות למרחבים קשירים: מרחב המספרים הממשיים ($\mathbb {R}$), הקטע הממשי $[0,1]$, המישור ($\mathbb {R} ^{2}$), ריבוע במישור. דוגמאות למרחבים לא קשירים: הישר הממשי שהוציאו ממנו נקודה אחת, האיחוד של שני הקטעים $[0,1]$ ו־$[2,3]$.

מרחב שאינו קשיר, ניתן לחלק לתתי מרחבים קשירים באופן השומר על התכונות הטופולוגיות, ולכן במקרים רבים די ללמוד את הטופולוגיה של מרחבים קשירים.

הגדרה

זוג של קבוצות פתוחות זרות במרחב טופולוגי, שאיחודן שווה לכל המרחב, נקרא פירוק של המרחב.

אם אחת משתי הקבוצות היא הקבוצה הריקה והשנייה היא כל המרחב, הפירוק נקרא טריוויאלי.

מרחב שהפירוק היחיד שלו הוא הפירוק הטריוויאלי נקרא מרחב קשיר.

דוגמאות

מרחב המספרים הממשיים הוא קשיר. אומנם אפשר להציג את $\mathbb {R}$ כאיחוד של שתי קבוצות זרות, למשל $\mathbb {R} =(-\infty ,0)\cup [0,\infty )$, אבל $[0,\infty )$ אינה פתוחה ב־$\mathbb {R}$. לא ניתן להציגו כאיחוד של שתי קבוצות פתוחות זרות.

מרחב המספרים הממשיים, שהוציאו ממנו את הראשית, אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי קבוצות פתוחות: $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$.

לעומת זאת, המישור, שהוציאו ממנו את הראשית (או קבוצה בת־מניה כלשהי של נקודות), הוא עדיין קשיר.

המרחב $X=[0,1]\cup [2,3]$ אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי הקבוצות $[0,1]$, $[2,3]$. הקבוצות הללו הן אומנם סגורות ב־$\mathbb {R}$ אבל הן פתוחות במרחב $X$.

באופן כללי: תת־מרחב של $\mathbb {R}$ הוא קשיר, אם ורק אם הוא קטע.

מרחב המספרים הרציונליים אינו קשיר, וכך גם קבוצת קנטור.

הגדרות שקולות

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות).

אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת־קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחת. קבוצה כזאת נקראת "סגוחה" (הלחם בסיסים של סגורה+פתוחה; באנגלית: clopen).

תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים: מרחב $X$ הוא קשיר, אם ורק אם לכל פונקציה רציפה $f$ מ־$X$ אל $\mathbb {R}$ (המספרים הממשיים), התמונה $f(X)$ היא קטע ב־$\mathbb {R}$. הוכחת שקילות: אם $X$ לא קשיר, הפונקציה ששולחת את אחת מהקבוצות הפתוחות ל־$0$ והשנייה ל־$1$ היא רציפה. בכיוון השני, אם $x<r<y$ ו־$x,y$ בתמונה אך $r$ לא, התמונות ההפוכות של $(-\infty ,r)$ ושל $(r,\infty )$ הן פתוחות.

קשירוּת ורציפות

תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.

בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר, כי העתקת המנה היא רציפה.

אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם $X=A\cup B$ פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות $a\in A,b\in B$, אז לפונקציה השולחת נקודות ב־$A$ ל־$b$ ונקודות ב־$B$ ל־$a$ אין נקודות שבת).

מכפלה של קבוצות קשירות

המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.

סגור ופנים של קבוצה קשירה

הסגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה. מעבר לכך, אם $\ A\subseteq X$ קשירה, אז גם כל $\ A\subseteq B\subseteq {\textrm {Cl}}(A)$ קשירה. באופן פיגורטיבי: כאשר מוסיפים לקבוצה קשירה נקודות ה"נוגעות" בה, הקשירות אינה נפגמת.

לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה הוא לא תמיד קבוצה קשירה. למשל, במישור, איחוד של שני עיגולים סגורים משיקים הוא קשיר, אבל הפנים של איחוד זה (שהוא איחוד של הפנימים של שני העיגולים) אינו קשיר.

איחוד וחיתוך של קבוצות קשירות

איחוד של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, האיחוד של שני קטעים פתוחים זרים ב־$\mathbb {R}$, אינו קשיר.

אולם, אם חיתוכן של הקבוצות אינו ריק, אז איחודן הוא קשיר. כך קובע "משפט הפרח": אם $\left\{D_{n}\right\}_{n\in \Lambda }$ היא משפחה של תת־קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז $D=\bigcup _{n\in \Lambda }D_{n}$ גם קשירה. לדוגמה, איחוד של ישרים במישור העוברים דרך הראשית (בצורת "פרח") הוא קשיר. התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.

חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, חיתוך של שני מעגלים במישור (שאינם משיקים) הוא שתי נקודות.

תת־קבוצות קשירות

תת־קבוצה $A$ של מרחב $X$ היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה. כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של $X$, יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות $U,V$ שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד. תת־קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.

רכיבי קשירות

התת־קבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות. כל רכיב קשירות הוא קבוצה סגורה (כי בהינתן רכיב $C$ שהוא מחלקת שקילות המתאימה לאיבר $x$, מכך ש־$C\subseteq {\bar {C}}$ מתקיים $x\in {\bar {C}}$, ובנוסף מכך ש־$C$ קשיר נובע שגם ${\bar {C}}$ קשיר. אבל $C$ הקבוצה הקשירה המקסימלית שמכילה את $x$, ולכן ${\bar {C}}\subseteq C$. לכן ${\bar {C}}=C$, מה שאומר ש־$C$ סגור).

נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות. נקודות שאינן ניתנות להפרדה שייכות לאותן קבוצות פתוחות־וסגורות. היחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות, ומחלקות השקילות שלו הזה הן רכיבי קוואזי־קשירות. כל רכיב קשירות מוכל ברכיב קוואזי־קשירות של המרחב. אם למרחב יש רק רכיב קוואזי־קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי־קשיר"). במרחב האוסדורף קומפקטי מרכיבי הקוואזי־קשירות ומרכיבי הקשירות מתלכדים.

קשירות מסילתית

ערך מורחב – מרחב קשיר מסילתית

מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר. כל תמונה רציפה של הקטע $[0,1]$ במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית. אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית. קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית. מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית. זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות. לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.

הקשר בין המרכיבים השונים

רכיבי הקוואזי־קשירות במרחב הם הגדולים ביותר. כאמור, כל רכיב קוואזי־קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות. אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית. יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.

מקורות

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 4 (כרך ב'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
• Counterexamples in Toplogy, L.A. Seen and J.A. Seebach Jr., Chapter 4.

ראו גם

• מרחב קשיר מקומית
• מרחב קשיר מסילתית
• מרחב בלתי קשיר לחלוטין

קישורים חיצוניים

• מרחב קשיר, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• מרחב קשיר, באתר MathWorld (באנגלית)