מרחב בר (טופולוגיה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, מרחב בר הוא מרחב טופולוגי שבו כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.

למרחבי בר חשיבות רבה בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, זאת בעקבות משפט הקטגוריה של בר הקובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הוא מרחב בר. באמצעות מרחבים אלו ניתן להוכיח משפטים חשובים באנליזה פונקציונלית כגון משפט ההעתקה הפתוחה.

מרחב בר נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.

מונחים בסיסיים

עבור מרחב טופולוגי $X$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ הקבוצה $N\subseteq X$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם הפנים של הסגור שלה ריק. כלומר, $\operatorname {Int} (\operatorname {Cl} (N))=\emptyset$.

קבוצה $A\subseteq X$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות. לעומת זאת, הקבוצה $A$ תקרא קבוצה מקטגוריה שנייה אם ורק אם היא אינה קבוצה מקטגוריה ראשונה.

הגדרה מתמטית

מרחב טופולוגי $X$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ ייקרא מרחב בר אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.
2. כל חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות וצפופות צפוף גם כן.
3. לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
4. כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא קבוצה מקטגוריה שנייה.
5. המשלים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.

הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק שוקה

ניתן להגדיר את המונח מרחב בר באמצעות המשחק הטופולוגי משחק שוקה. עבור מרחב טופולוגי $X$, משחק שוקה משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה $U_{1}\subseteq X$ ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה $U_{2}\subseteq U_{1}$. לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת $U_{3}\subseteq U_{2}$ ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה $U_{4}\subseteq U_{3}$. המשחק נמשך עד לאינסוף כאשר לשני השחקנים אסור לבחור בקבוצה ריקה. אליס מנצחת את המשחק אם $\bigcap _{n=1}^{\infty }{U_{n}}\neq \emptyset$. אחרת, בוב מנצח.

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם המרחב $X$ הוא מרחב בר. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי מרחב בר להיות מרחב טופולוגי שבו יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק שוקה.

דוגמאות

• ממשפט הקטגוריה של בר נובע כי המרחבים $\mathbb {R} ^{n}$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית הם מרחבי בר.
• הישר של סורגנפריי ומישור מור הם מרחבי בר, זאת על אף שהם אינם מקיימים את משפט הקטגוריה של בר.

קישורים חיצוניים

• מרחב בר, באתר MathWorld (באנגלית)