סדרת פרי

הצגה של סדרת פרי עד F₉

במתמטיקה, סדרת פרי (Farey) מסדר n היא סדרה של שברים מצומצמים בין 0 ו-1, שהמכנה שלהם הוא קטן או שווה ל-n, כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא 2\1 (n > 1) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר n מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-n. הסדרה מסדר n מסומנת על ידי F_n (ללא קשר לסדרת פיבונאצ'י)

סדרת פרי עד סדר 7
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

מאפיינים

ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי פונקציית אוילר בצורה רקורסיבית (כאשר F₁| = 2|):

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).$

או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m).$

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),$

ועל ידי שימוש בנוסחת ההיפוך של מביוס נקבל:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,$

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.$

קשר להשערת רימן

אם נסמן את איברי הסדרה כ-$F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$, ונגדיר $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$. בשנת 1924 הוכיח ג'רומה פראנל (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח אדמונד לנדאו כי הטענה:

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2$

גם היא שקולה להשערת רימן

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סדרת פרי בוויקישיתוף

• סדרת פרי, באתר MathWorld (באנגלית)