במתמטיקה, סדרת לוקאס (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקאס) היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה
, כאשר
קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל.
לדוגמה:
לאחר בחירת הקבועים
, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה
, ותנאי ההתחלה הקובעים את
. בפרט:
- סדרת לוקאס עם
נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון.
- סדרת לוקאס עם
נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.
למשל:
היא סדרת פיבונאצ'י.
הם מספרי לוקאס.
היא סדרת פל.
היא סדרת פל-לוקאס.
הם מספרי מרסן.
היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.
את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}L_{n}\\L_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P&Q\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}L_{n-1}\\L_{n-2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b87179f0dc7de1978f7fde7e43a9ff937a457a)
לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא
. נסמן את הדיסקרימיננטה
, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:
![{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}},\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51837793a52c312336e7de25806ea30bc657ddbe)
ולכן אם שני השורשים שונים אזי
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}&={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}\\V_{n}&=a^{n}+b^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423206c81d707dfbbd5d0a8c917853ffffef7424)
ואם שני השורשים זהים אזי
כאשר מתקיים
.
סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.
![{\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1),L_{n}=V_{n}(1,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664640e173b232cfb576c798f8bc8d2bb24a60a3)
זהות כללית |
מקרה פרטי
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|