סאלינון

הסאלינון הוא האזור הכחול.

שרטוט להוכחת שטח הסאלינון. הצורה כאן היא איחוד האזור הכתום והסגול.

סאלינון (מיוונית: σαλινον - צלוחית למלח) היא צורה גאומטרית הבנויה מארבעה חצאי עיגולים בשלושה גדלים. את חצי העיגול הגדול (קוטר AB) נוגסים (חותכים) שני חצאי עיגולים קטנים יותר (קוטר AD וקוטר EB, זהים באורכם). למרכז חצי העיגול הגדול נוסף בכיוון ההפוך חצי-עיגול קטן (רדיוס DO).

הסאלינון הופיעה לראשונה בספר הלמות של ארכימדס כטענה 14:

יהי ACB חצי עיגול על AB כקוטר, ויהיו AD,BE קטעים כך שאורכם הנמדד מנקודות A ו-B בהתאמה שווה. על AD ו-BE נבנה חצאי עיגולים הפונים אל C, ועל DE כקוטר חצי עיגול בצד הנגדי. נניח שהאנך ל-AB דרך O, מרכז חצי העיגול הראשון, פוגש את חצאי העיגולים המנוגדים בנקודות C ו-F בהתאמה. אז השטח של הצורה התחומה על ידי כל היקפי חצאי העיגולים שווה לשטח של המעגל הנבנה על CF כקוטר.

ארכימדס הוכיח ששטח הסאלינון שווה לשטח העיגול שקוטרו FC.

הוכחה

הרכב שטח הסאלינון:

שטח הסלינון הוא:

• מחצית העיגול הגדול ( רדיוס AO)
• ועוד: מחצית העיגול התחתון ( רדיוס DO )
• פחות: פעמיים חצי עיגול שנוגס בעיגול הגדול משני צדדיו ( קוטר AD ו EB ).

קביעת הרדיוסים של העיגולים ושטחיהם:

1. יהי $R$ רדיוס העיגול הגדול AO, שטח מחציתו יהיה: ${\frac {1}{2}}\pi R^{2}$

2. יהי $r$ רדיוס העיגול התחתון DO, שטח מחציתו יהיה: ${\frac {1}{2}}\pi r^{2}$

3. אזי, רדיוס העיגול הנוגס (החותך) את העיגול הגדול ( מחצית AD ) יהיה : ${\frac {1}{2}}(R-r)$

ושטח העיגול יהיה: ${\frac {1}{4}}\pi (R-r)^{2}$ ( חישבנו עיגול ולא חצי עיגול משום שעלינו לחסר שני חצאים )

סך כל שטח הסאלינון:

${\frac {1}{2}}\pi R^{2}+{\frac {1}{2}}\pi r^{2}-{\frac {1}{4}}\pi (R-r)^{2}={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}$

ומצד שני:

הקוטר CF של המעגל בציור הוא סכום הרדיוסים AO + DO : $R+r$ ולפיכך הרדיוס הוא: ${\frac {1}{2}}(R+r)$

שטח העיגול עם רדיוס גם הוא: ${\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}$

ארבלוס

אם הנקודות D ו-E יתלכדו עם הנקודה O נקבל צורה הקרויה ארבלוס, שגם בה עסק ארכימדס.

בשעשועי מתמטיקה

חלוקה של המעגל ל-4 חלקים שווי שטח והיקף באמצעות סאלינונים מוכללים. באמצעות חלוקת הקוטר CE למספר שרירותי של קטעים שווים, ניתן לחלק את המעגל למספר שרירותי של חלקים שווי שטח והיקף.

כאשר מסירים את הדרישה שהקטעים AD ו-BE יהיו שווים, מקבלים צורה שניתן לכנותה "סאלינון מוכלל". מקרה פרטי של סאלינון מוכלל כזה מתקבל כאשר הנקודות A ו-D מתלכדות, ואז מקבלים צורה המזכירה ארבלוס, אלא שבשונה מארבלוס שני חצאי המעגלים הקטנים שבו מנוגדים זה לזה. צורה זאת ניחנה בתכונות שהופכות אותה לשימושית במיוחד לצורך פתרון חידות חיתוך והרכבה העוסקות בחלוקת צורות מעוגלות לחלקים שווי שטח והיקף. בפרט, ניתן להשתמש בה לפתרון אלגנטי של בעיית חיתוך העיגול למספר שרירותי של חתיכות שוות שטח והיקף על ידי עקומות שמתחילות ונגמרות בהיקף העיגול ושאינן חותכות זו את זו או צמודות זו לזו. הסיבה לכך נעוצה בקיום התכונות הבאות:

• לסוג זה של סאלינון יש שתי "צלעות" (האחת מורכבת משני חצאי המעגלים הקטנים ואילו השנייה היא חצי המעגל הגדול) שוות היקף.
• חישוב השטח של סאלינון כזה מראה שערכו ${\frac {1}{4}}(\pi rD)$ כאשר D ו-r הם קוטר המעגל הגדול ביותר והמעגל הקטן ביותר, בהתאמה. הצבת $r={\frac {D}{n}}$ מראה ששטח סאלינון כזה קטן פי n משטח העיגול הגדול.
• סאלינונים כאלה מקיימים יחס הכלה מוגדר היטב: סאלינון המוגדר על ידי קטע קטן יותר $r_{1}$ מוכל במלואו בסאלינון המוגדר על ידי קטע גדול יותר $r_{2}$ (כששניהם נבנים ביחס לאותו חצי מעגל).

שלוש תכונות אלו מאפשרות לחלק את העיגול ל-n חלקים שווי היקף ושטח באמצעות הבנייה הבאה: נחלק את קוטר המעגל ל-n קטעים שווים באמצעות נקודות המופיעות במרווחים שווים, ונבנה סאלינון המוגדר לפי כל אחת מהנקודות הללו. בנייה זאת מניבה חלוקה של העיגול ל-n חלקים שווי שטח והיקף, שכל אחד מהם תחום על ידי קשתות של מעגלים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סאלינון בוויקישיתוף

• סאלינון, באתר MathWorld (באנגלית)