נוסחת האברסין

נוסחת האברסין קובעת את מרחק המעגל הגדול בין שתי נקודות על ספירה בהינתן קווי האורך והרוחב שלהן. לנוסחא הייתה חשיבות רבה בניווט ימי, והיא מהווה מקרה פרטי של נוסחה כללית יותר בטריגונומטריה ספירית, חוק האברסינים, המקשר את הצלעות והזוויות של משולשים על פני הספירה.

הטבלה הראשונה של האברסינים בשפה האנגלית פורסמה על ידי ג'יימס אנדרו בשנת 1805. חוסה דה מנדוזה אי ריוס פרסם טבלאות האברסינים קודם לכן, בשנת 1801. המונח "האברסין" נטבע בשנת 1835 על ידי ג'יימס אינמן.

שמות אלו נובעים מהעובדה שנהוג לכתוב את הנוסחאות במונחים של פונקציית האברסין, הנתונה על ידי $\operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}(\theta /2)$. באותה מידה ניתן היה לכתוב את הנוסחאות במונחי פונקציות טריגונומטריות אחרות. אך לפני הופעת המחשבים, פישוט זה הוכיח את עצמו מספיק נוח, כדי שטבלאות של ערכי ההאברסין ולוגריתמים נכללו בטקסטים של ניווט וטריגונומטריה של המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20.

תרשים הממחיש מרחק מעגל גדול (מצויר באדום) בין שתי נקודות על כדור, P ו-Q. מוצגות גם שתי נקודות אנטיפודיות, u ו-v.

ניסוח

הזווית המרכזית θ בין שתי נקודות על הספירה מקיימת

$\theta ={\frac {d}{r}}$

כאשר

• $d$ הוא המרחק בין שתי הנקודות לאורך מעגל גדול של הספירה (ראה מרחק מעגל גדול),
• $r$ הוא רדיוס הספירה.

נוסחת האברסין מאפשרת לחשב את ההאברסין של θ ישירות מקווי הרוחב (מיוצגים על ידי $\varphi$) וקווי האורך (מיוצגים על ידי $\lambda$) של שתי הנקודות :

$\operatorname {hav} \theta =\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)$

כאשר

• φ₁, φ₂ הם קוי הרוחב של נקודות 1 ו-2, בהתאמה.
• λ₁, λ₂ הם קווי האורך של נקודות 1 ו-2, בהתאמה.
• $\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$, $\Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$.

לבסוף, פונקציית האברסין hav(θ) לעיל, המופעלת הן על הזווית המרכזית $\theta$ והן על ההפרשים של קווי הרוחב והאורך, היא

$\operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$

כדי למצוא את המרחק $d$, יש להפעיל את הפונקציה archav, הפונקציה ההופכית ל hav(θ) או להשתמש בפונקציה הטריגונומטרית ההופכית arcsin:

$d=r\operatorname {archav} (\operatorname {hav} \theta )=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} \theta }}\right)$

או באופן מפורש יותר:

${\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\Delta \varphi )+(1-\operatorname {hav} (\Delta \varphi )-\operatorname {hav} (2\varphi _{\text{m}}))\cdot \operatorname {hav} (\Delta \lambda )}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)+\cos ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-\cos \left(\Delta \varphi \right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \left(1-\cos \left(\Delta \lambda \right)\right)}{2}}}\right)\end{aligned}}$

כאשר $\varphi _{\text{m}}={\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}$ .

בעת שימוש בנוסחאות אלו, יש לוודא כי h = hav(θ) אינו עולה על 1 עקב שגיאת נקודה צפה ($d$ הוא ממשי רק עבור 0 ≤ h ≤ 1). h שואף ל-1 עבור נקודות אנטיפודיות, ובסביבה זו, עלולות להופיע שגיאות נומריות משמעותיות כאשר נעשה שימוש בחישוב בדיוק סופי. אולם מכיוון ש- $d$ גדול (מתקרב ל πR, חצי מההיקף) השגיאה היחסית אינה גדולה במקרה יוצא דופן זה (אם כי יש נוסחאות אחרות למרחק מעגל גדול הנמנעות מבעיה זו). לעיתים משתמשים בנוסחה לעיל בפונקציה ארקטנגנס, אך גם היא סובלת מבעיות נומריות דומות ליד h = 1.

כפי שמתואר להלן, ניתן לכתוב נוסחה דומה באמצעות משפט הקוסינוסים של הגאומטריה הספירית (שאין להחליפו בחוק הקוסינוסים של גאומטריית מישור) במקום האברסינים. אבל אם שתי הנקודות קרובות זו לזו (למשל במרחק של קילומטר זה מזה, על כדור הארץ) ייתכן שהתוצאה תהיה $\cos(d/R)=0.99999999$ מה שיוביל לתוצאה לא מדויקת. נוסחת האברסין אינה סובלת מבעיה זו מכיוון שהיא משתמשת בפונקציית הסינוס.

הנוסחאות לעיל הן מקורבות כאשר הן מיושמות על כדור הארץ, שאינו כדור מושלם: רדיוס כדור הארץ, R משתנה מ-6356.752 ק"מ בקטבים ל-6378.137 ק"מ בקו המשווה. חשוב מכך, רדיוס העקמומיות של קו צפון-דרום על פני כדור הארץ בקטבים (≈6399.594 ק"מ) גדול ב-1% מאשר בקו המשווה (≈6335.439 ק"מ) - כך שלא ניתן להבטיח שנוסחת ההאברסין וחוק הקוסינוס יהיו מדויקים ברמה של 0.5%. שיטות מדויקות יותר המתחשבות באליפטיות של כדור הארץ ניתנות על ידי נוסחאות וינסנטי.

חוק האברסין

משולש כדורי שנפתר על ידי חוק האברסינים

בהינתן ספירת יחידה, "משולש" מוגדר על ידי שלושה המעגלים הגדולים המחברים שלוש נקודות u, v ו- w על הספירה. אם אורכי שלוש הצלעות הללו הם a (מ- u ל- v), b (מ- u ל- w), ו- c (מ- v ל- w), והזווית שממול ל- c היא C, אזי חוק האברסין קובע:

$\operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).$

מכיוון שמדובר בספירת היחידה, האורכים a, b, ו- c שווים לזוויות (ברדיאנים) המשתרעות על ידי הצלעות הללו ממרכז הכדור (עבור כדור שאינו יחידה, כל אחד מאורכי הקשת הללו שווה לזווית המרכזית שלו מוכפל ברדיוס R של הכדור).

על מנת לקבל מחוק זה את נוסחת האברסין של הסעיף הקודם, יש לקחת את המקרה הפרטי שבו u הוא הקוטב הצפוני, בעוד v ו- w הן שתי הנקודות שביניהן יש לקבוע את המרחק $d$ . במקרה כזה, a ו- b הם $\pi /2-\varphi _{1,2}$, $C$ הוא ההפרש של זוויות האורך $\lambda _{2}-\lambda _{1}$ ו-c הוא המרחק המתאים לספירת היחידה, כלומר ${\frac {d}{R}}$. שימוש בזהות $\sin({\frac {\pi }{2}}-\varphi )=\cos(\varphi )$ נותן ישירות את נוסחת האברסין.

הוכחה

ניתן להוכיח את הנוסחה

$\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)$

על ידי המרת הנקודות הנתונות על ידי קו הרוחב והאורך שלהן לקואורדינטות קרטזיות, ואז לקחת את המכפלה הסקלרית שלהן.

תהיינה ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ שתי נקודות על ספירת היחידה, הנתונות על ידי קו הרוחב שלהם $\varphi$ וקווי אורך $\lambda$:

${\begin{aligned}{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\\{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\end{aligned}}$

ייצוגים אלה דומים מאוד לייצוג בקואורדינטות כדוריות, אולם קו הרוחב $\varphi$ נמדד כזווית מקו המשווה ולא מהקוטב הצפוני. הייצוג של הנקודות בקואורדינטות קרטזיות הוא:

${\begin{aligned}{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\end{aligned}}$

מכאן נוכל לנסות ישירות לחשב את המכפלה הסקלרית ולהמשיך, אולם ניתן לפשט את הנוסחאות אם לוקחים בחשבון את העובדה הבאה: המרחק בין שתי הנקודות לא ישתנה אם נסובב את הכדור לאורך ציר ה-Z. סיבוב כזה למעשה יוסיף קבוע ל $\lambda _{1},\lambda _{2}$ . ששיקול דומה אינו חל על קווי הרוחב - הוספת קבוע לשני קווי הרוחב עלולה לשנות את המרחק בין הנקודות. על ידי בחירת הקבוע שלנו להיות $-\lambda _{1}$, והגדרה $\lambda '=\Delta \lambda$, הנקודות החדשות שלנו הופכות ל:

${\begin{aligned}{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\\{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\end{aligned}}$

אם $\theta$ מציין את הזווית בין ${\bf {p_{1}}}$ ו ${\bf {p_{2}}}$, מתקבל

${\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\Delta \varphi )+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda '\right)\end{aligned}}$

ראו גם

• נוסחאות וינסנטי