מתמטיקה של קיפולי נייר

אמנות קיפולי הנייר, אוריגמי, זכתה למחקר מתמטי ניכר. תחומי העניין המתמטיים כוללים את בדיקת היכולת לשטח את מודל הנייר מבלי להזיק לו (באנגלית: flat-foldability) והשימוש בקיפולי הנייר על מנת לפתור משוואות מתמטיות. המגבלות המקובלות בייצור דגמי אוריגמי יוצרות תנאי שפה רבים על יצירת דגמים, המאפשרים ניתוח מתמטי של תהליכי הקיפול.

אתגרים מתמטיים

קיימות בעיות מתמטיות רבות הנובעות מאמנות האוריגמי, וחלקן טרם נפתרו. למשל, בעיית הקיפול השטוח, הבוחנת את אפשרות הקיפול של דגם דו-ממדי על פי תבנית קפלים נתונה. בעיה זו היא בעיה NP שלמה^[1]^[2]. בעיה אחרת, בעלת חשיבות מעשית רבה, היא בעיית "האוריגמי הקשיח", הבוחנת אפשרות יצירת דגמים מיחידות נוקשות שמחוברות ביניהן בצירים. לפתרון בעיה זו שימושים רבים באדריכלות ובהנדסה.

בנית מודלים של אוריגמי דורשת, בדרך-כלל, קיפולים חוזרים מעטים בלבד. אחד האתגרים בתחום זה, קיפול נייר לשניים בשכבות רבות, נפתר רק ב-2001, על ידי בריטני גאליבן, בהיותה עדיין תלמידת תיכון. גאליבן ניסחה את פונקציית ההפסד עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד. הפונקציה מבוטאת על ידי הנוסחה $L={\frac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$ , כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו-"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים. גאליבן הצליחה לקפל דף נייר לשניים 12 פעמים. הדעה המקובלת לפני כן הייתה שבלא התחשבות בסוג או בגודל הנייר ניתן לקפלו לא יותר משמונה פעמים.

אקסיומות הוזיטה-האטורי

בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע אקסיומות המגדירות את הפעולות הגאומטריות האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-1992 על ידי המתמטיקאי היפני-איטלקי, הומיאקי הוזיטה^[3]. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי קושירו האטורי. בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):

בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד המחבר ביניהן.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד הממקם את P1 על גבי P2.
בהינתן שני קווים L1 ו-L2, קיים קפל הממקם את L1 על גבי L2.
בהינתן נקודה P וקו L, קיים קפל יחיד המאונך ל-L שעובר דרך P.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2 וקו L, כך שמרחקה של P2 מ-L אינו עולה על מרחקה מ-P1, ניתן ליצור קפל העובר דרך P2 שימקם את P1 על גבי L.
בהינתן שתי נקודות, P1 ו-P2, ושני קווים, L1 ו-L2, ניתן ליצור (בתנאים מסוימים) קפל שימקם בו-זמנית את נקודה P1 על גבי L1 ואת נקודה P2 על גבי L2.
בהינתן נקודה P1 ושני קווים L1 ו-L2, ניתן ליצור קפל מאונך ל-L2 שימקם את P1 על גבי L1.

שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על מישור כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד. ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.

רוברט ג. לאנג (Robert J. Lang) הראה דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים באמצעות קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי. בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים). את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.

בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי מחשב, פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד^[4]. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר $\ a$ באמצעות קיפולי נייר: ציירו מערכת צירים מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות $\ (0,2)$ ו- $\ (a,1)$ . כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה-x, ואת הנקודה השנייה על הישר $\ x=-a$ . שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה $\ (0,2)$ לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק $\ 2{\sqrt[{3}]{a}}$ .

הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות מחוגה וסרגל: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת אנך אמצעי (2), העברת חוצה זווית (3), הורדת אנך (4), העברת משיק לפרבולה דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר מקביל (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון משוואה ממעלה שלישית (ולכן גם רביעית^[5]); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק משוואות ריבועיות.

כמה מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, למשל שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים) או בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר.

כתוצאה ממחקר אוריגמי באמצעות יישום של עקרונות גאומטריים, שיטות, כדוגמת משפט האגה, אפשרו למקפלי נייר לקפל צלע של ריבוע לשליש, חמישית, שביעית ותשיעית מאורכה. כמה משפטים ושיטות אפשרו למקפלי נייר לקבל מריבוע צורות אחרות כדוגמת משולשים שווי צלעות, מחומשים, משושים, ומלבנים מיוחדים כדוגמת מלבן הזהב ומלבן הכסף.

לבעיית ה"אוריגמי הקשיח", שבה מתייחסים אל הקפלים כאל צירים המחברים שני משטחים קשיחים שטוחים כדוגמת לוחות מתכת, יש חשיבות מעשית גדולה. לדוגמה, "קיפול המפה של מיורה" (Miura map fold) הוא קיפול קשיח שנעשה בו שימוש לפרישת לוחות סולריים גדולים עבור לוויינים.

קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים (בעיית הקיפול השטוח) הוכח על ידי מרשל ברן (Marshall Bern) וברי הייז (Barry Hayes) כבעיה NP שלמה, CiteSeerX, citeseer.ist.psu.edu (באנגלית). מידע נוסף ניתן למצוא בספר " Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra".

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מתמטיקה של קיפולי נייר בוויקישיתוף

Better origami using nature and maths – אתר ה-BBC
מתמטיקה של קיפולי נייר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ Marshall Bern and Barry Hayes, The complexity of flat origami, Proceedings of the seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, 175–183, 1996
^ Jonathan Schneider, Flat-Foldability of Origami Crease Patterns, Swarthmore College Computer Society, 2004
^ Humiaki Huzita, Understanding Geometry through Origami Axioms, Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy, J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37–70
^ Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York Journal of Mathematics, 6:119–133, 2000
^ אפשר להגיע אל הפתרונות של משוואה ממעלה רביעית באמצעות שלוש פעולות של הוצאת שורש ריבועי ופעולה אחת של הוצאת שורש שלישי

[1] Marshall Bern and Barry Hayes, The complexity of flat origami, Proceedings of the seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, 175–183, 1996

[2] Jonathan Schneider, Flat-Foldability of Origami Crease Patterns, Swarthmore College Computer Society, 2004

[3] Humiaki Huzita, Understanding Geometry through Origami Axioms, Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy, J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37–70

[4] Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York Journal of Mathematics, 6:119–133, 2000

[5] אפשר להגיע אל הפתרונות של משוואה ממעלה רביעית באמצעות שלוש פעולות של הוצאת שורש ריבועי ופעולה אחת של הוצאת שורש שלישי

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]