משתנה מציין

בהסתברות, משתנה מציין, או משתנה אינדיקטור, הוא משתנה מקרי שמציין האם מאורע מסוים התרחש. כאשר המאורע התרחש, הערך שלו הוא $\ 1$, וכאשר המאורע לא התרחש ערכו $\ 0$.

כך, נקבל כי ההתפלגות של $\ X$, משתנה מציין למאורע $\ A$, היא $\ P(X=x)=\left\{{\begin{array}{lc}P(A)&x=1\\1-P(A)&x=0\end{array}}\right.$. מכך נובע כי התוחלת של $\ X$ היא $\ E[X]=P(A)\cdot 1+(1-P(A))\cdot 0=P(A)$.

שימוש

המשתנה המציין שימושי למשל כאשר מעוניינים לחשב תוחלת או שונות של משתנה מקרי שניתן לבטאו כסכום של משתנים מציינים. ואז ניתן להיעזר בליניאריות התוחלת ולהגיע לתוחלת משתנה זה, אם ידועה ההסתברות להתרחשות המאורעות שהמשתנים המציינים מייצגים.

חישוב תוחלת על ידי אינדיקטורים: $\ E[X]=E[\sum _{i=1}^{n}X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]$ חישוב שונות על ידי אינדיקטורים: $\ V[X]=V[\sum _{i=1}^{n}X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}V[X_{i}]+2\cdot \sum _{i<j}COV(X_{i},X_{j})$

תכונות

תוחלת

התוחלת של כל אינדיקטור שווה לסיכוי שהוא יהיה שווה 1, כלומר: $\ E[X_{i}]=P(X_{i}=1)$.

הוכחה:

נביט בפונקציית ההסתברות השולית של X המוגדרת כ-P(X):

פונקציית הסתברות

$P(Y)$	$1$	$0$	$X\backslash Y$
$P(Y=0)$	$P(X=0,Y=1)$	$P(X=0,Y=0)$	$0$
$P(Y=1)$	$P(X=1,Y=1)$	$P(X=1,Y=0)$	$1$
$1$	$P(X=1)$	$P(X=0)$	$P(X)$

אז לפי הגדרת תוחלת:

$\ E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1)$

שונות

השונות של כל אינדיקטור שווה לסיכוי שהוא יהיה שווה 1 כפול הסיכוי שהוא יהיה שווה אפס, כלומר: $\ V[X_{i}]=P(X_{i}=1)\cdot P(X_{i}=0)$

שונות משותפת

השונות המשותפת של 2 אינדיקטורים שווה לסיכוי שכל אחד מהם יהיה שווה אחד, פחות מכפלת ההסתברויות שכל אינדיקטור שווה 1, כלומר: $COV(X_{i},X_{j})=P(X_{i}=1,X_{j}=1)-P(X_{i}=1)P(X_{j}=1)$

דוגמה

להלן דוגמה לפתרון בעיה באמצעות משתנים מציינים. מוצגת הבעיה הבאה: פקיד רשלן צריך לשלוח $\ n$ מכתבים ל- $\ n$ יעדים. ברשותו של הפקיד $\ n$ מעטפות ועליהן כתובים היעדים, כשכל מעטפה מתאימה ליעד אחד בדיוק. הפקיד מחלק את המכתבים למעטפות בצורה מקרית, כאשר ההתפלגות של המעטפה הנבחרת בכל שלב היא אחידה. יהא $\ X$ מספר המעטפות שהגיעו ליעד. מה התוחלת של $\ X$?

פתרון

כאמור, נוח לפתור בעיה זאת באמצעות משתנים מציינים. נסמן $\ X_{i}$ בתור המשתנה המציין המתאים למאורע שמכתב $\ i$ הגיע ליעד. מאחר שההתפלגות אחידה, לכל מכתב ההסתברות שהוא הגיע ליעד היא ${\frac {1}{n}}$. נשים לב כי $\ X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$, לפיכך לפי ליניאריות התוחלת $\ E[X]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot n=1$.