משתמש:Yishaybg/קונבולוציה

תכונות

תכונות אלגבריות

הקונבולציה מגדירה מכפלה על המרחב הווקטורי של פונקציות אינטגרביליות. מכפלה זו עונה על התכונות האלגבריות הבאות, שמשמעותן פורמלית שהמרחב של פונקציות אינטגרביליות עם המכפלה הניתנת על ידי קונבולציה היא אלגברה אסוציאטיבית קומוטטיבית ללא זהות (Strichartz 1994, §3.3). מרחבים ליניאריים אחרים של פונקציות, כמו המרחב הפונקציות הרציפות של תמיכה קומפקטית, סגורים תחת הקונבולציה, וכך גם יוצרים אלגברות אסוציאטיביות קומוטטיביות.

קומוטטיביות

$$f*g=g*f$$ הוכחה: על ידי ההגדרה: $$(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$$החלפת משתנה האינטגרציה ל־$u=t-\tau$ התוצאה בהמשך.

אסוציאטיביות

$$f*(g*h)=(f*g)*h$$ הוכחה: הדבר נובע משימוש במשפט פוביני (כלומר, ניתן להעריך אינטגרלים כפולים כאינטגרלים מחוזררים בכל אחד מהסדרים).

דיסטריביוטיביות

$$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)$$ הוכחה: מלינאריות האינטגרל.

אסוציאטיביות עם כפל בסקלר

$$a(f*g)=(af)*g$$ עבור כל מספר ממשי או מורכב $a$ .

איבר יחידה

לאף אלגברה של פונקציות אין איבר יחידה לקונבולציה. היעדר איר יחידה בדרך כלל אינו מהווה אי נוחות רצינית, מכיוון שרוב אוספי הפונקציות שעליהן מבוצעת הקונבולוציה ניתנים לקונבולוציה עם התפלגות דלתא (הלם אוניטרי, המרוכז באפס) או, לכל הפחות (כמו במקרה של L¹), להודות בקירוב לאיבר יחידה. המרחב הווקטורי של התפלגויות הנתמכות בצורה קומפקטית, לעומת זאת, מודה באיר יחידה תחת הקונבולציה. ספציפית, $$f*\delta =f$$ כאשר δ היא התפלגות דלתא.

איבר הופכי

לחלק מההתפלגויות S יש איבר הופכי S ⁻¹ עבור הקונבולוציה שאז חייב להסתפק $$S^{-1}*S=\delta$$ שממנו ניתן לקבל נוסחה מפורשת עבור S ^-1 .תבנית:Paragraph קבוצת ההתפלגויות ההפיכות יוצרת חבורה אבלית תחת הקונבולציה.

צימוד מורכב

$${\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}$$

היפוך זמן

אִם $q(t)=r(t)*s(t),$ אָז $q(-t)=r(-t)*s(-t).$

הוכחה (באמצעות משפט קונבולציה):

$q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)$

$q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)$

${\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}$

קשר לגזירה

$$(f*g)'=f'*g=f*g'$$ הוכחה:

${\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}$

קשר לאינטגרציה

אִם ${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$ ו ${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$ אָז $$(F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .$$

אינטגרציה

אם f ו־g הן פונקציות אינטגרביליות, אז האינטגרל של הקונבולוציה שלהן על המרחב כולו מתקבל פשוט כמכפלת האינטגרלים שלהן:

$\int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).$

דבר זה נובע ממשפט פוביני. אותה תוצאה מתקיימת אם מניחים ש-f ו- g הן רק פונקציות מדידות לא שליליות, לפי משפט טונלי .

גזירה

במקרה של משתנה אחד,

${\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}$

כאשר ${\frac {d}{dx}}$ היא הנגזרת. באופן כללי יותר, במקרה של פונקציות של מספר משתנים, מתקיימת נוסחה מקבילה עם הנגזרת החלקית:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.$

תוצאה מיוחדת של קשר זה היא שניתן לראות את הקונבולוציה כפעולת "החלקה": הקונבולוציה של f ו־g ניתנת לגזירה כמה פעמים שניתן לגזור את f ואת g בסך הכל.

זהויות אלו מתקיימות למשל בתנאי ש־f ו־g הן אינטגרביליות לחלוטין ולפחות לאחת מהן יש נגזרת חלשה לחלוטין (L¹), כתוצאה מהאי-שוויון של יאנג. לדוגמה, כאשר f גזירה באופן רציף עם תמיכה קומפקטית, ו־g היא פונקציה שרירותית האינטגרבילית באופן מקומי,

${\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.$

זהויות אלו מתקיימות גם בצורה רחבה הרבה יותר, במובן של התפלגויות מחוסמות אם אחת מ- f או g היא התפלגות מחוסמת יורדת במהירות, התפלגות מזג הנתמכת באופן קומפקטי או פונקציית שוורץ והשנייה היא התפלגות מזג. מצד שני, לשתי פונקציות חיוביות הניתנות לאינטגרציה וניתנות להבדלה אינסופית עשויות להיות קונבולולוציה רציפה בשום מקום.

במקרה הבדיד, אופרטור ההפרש D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) עונה על קשר אנלוגי:

$D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).$

משפט הקונבולוציה

משפט הקונבולציה קובע כי

${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

אֵיפֹה ${\mathcal {F}}\{f\}$ מציין את טרנספורמציה פורייה של $f$ .

קונבולציה בסוגים אחרים של התמרות

גרסאות של משפט זה מתקיימות גם עבור התמרת לפלס, התמרת לפלס דו-צדדית, התמרת Z ו- Melin .

קונבולציה על מטריצות

אִם ${\mathcal {W}}$ היא מטריצת התמרת פורייה, אם כן

${\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y$ ,

אֵיפֹה $\bullet$ הוא מוצר פיצול פנים, $\otimes$ מציין את מוצר Kronecker, $\circ$ מציין את המוצר של Hadamard (תוצאה זו היא התפתחות של מאפייני סקיצת ספירה ).

ניתן להכליל זאת עבור מטריצות מתאימות $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ :

${\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)$

מהמאפיינים של המוצר פיצול הפנים .

שקילות העתקה

הפיתול מתנייד עם תרגומים, כלומר [[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]