משפט הלדר (תורת החבורות)

משפט הלדר הוא משפט בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שכל חבורה מסדר שהוא מכפלה של שלושה מספרים ראשוניים (לאו דווקא שונים) או פחות היא חבורה פתירה. המשפט הוכח על-ידי אוטו הלדר בשנת 1893.

הוכחת המשפט מתבססת על משפטי סילו. המשפט הוא אחת הדוגמאות הראשונות לשימוש במשפטי סילו.

ניסוח שקול

ניסוח שקול למשפט הלדר הוא שכל חבורה לא ציקלית מסדר שהוא מכפלה של שלושה מספרים ראשוניים (לאו דווקא שונים) או פחות איננה פשוטה.

הוכחת השקילות

הניסוח הראשון גורר את השקול

תהי $G$ חבורה מסדר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים או פחות. לפי הניסוח הראשון $G$ פתירה. מכיוון ש $G$ לא ציקלית זה גורר ש $G$ אינה חבורה פשוטה כי כל חבורה פשוטה ופתירה היא חבורה ציקלית.

הניסוח השקול גורר את הראשון

נוכיח באינדוקציה על $n$ שכל חבורה מסדר $n$ מקיימת את הניסוח הראשון.

בסיס $n=1$:

$\{e\}$ היא פתירה.

מעבר:

הנחת האינדוקציה היא שלכל חבורה מסדר קטן מ-$n$, אם הסדר שלה הוא מכפלה של עד שלושה ראשוניים, אז היא פתירה.

נוכיח שאם $n$ מכפלה של עד שלושה ראשוניים שונים אז כל החבורות מסדר $n$ פתירות.

תהי $G$ חבורה מסדר $n$. אם $G$ ציקלית אז היא פתירה, ואם היא לא ציקלית אז לפי הניסוח השקול $G$ אינה פשוטה, לכן $G$ היא הרחבה של שתי חבורות. נסמן אותן ב-$H_{1}$ ו-$H_{2}$ (זאת אומרת ש - $H_{1}$ היא תת-חבורה נורמלית ב - $G$ ו - $H_{2}\cong G/H_{1}$). הסדרים של $H_{1}$ ו-$H_{2}$ מחלקים את $n$. ולכן הם מכפלות של עד שלושה ראשוניים. נקבל לפי הנחת האינדוקציה שהחבורות $H_{1}$ ו-$H_{2}$ פתירות. לכן $G$ פתירה כי היא הרחבה של חבורות פתירות.

הוכחת המשפט

ההוכחה מחולקת לארבעה מקרים:

• סדר החבורה הוא חזקה של מספר ראשוני
• סדר החבורה הוא מכפלה של שני ראשוניים שונים
• סדר החבורה הוא מכפלה של מספר ראשוני וריבוע של מספר ראשוני אחר
• סדר החבורה הוא מכפלה של שלושה ראשוניים שונים

רעיון ההוכחה

במקרה הראשון ההוכחה פשוטה. ביתר המקרים ההוכחה בתבססת על שני הרעיונות הבאים:

• שימוש במשפטי סילו: לפי המשפט הראשון של סילו יש לחבורה תת-חבורת $p$-סילו עבור כל מחלק ראשוני $p$ של הסדר שלה. אנו רוצים להוכיח שעבור אחד המחלקים, מספר חבורות הסילו הוא אחד.

יתר משפטי סילו מספקים מידע רב על הערכים האפשריים של מספרים אלו. בחלק מהמקרים די בכך כדי להוכיח את המשפט. אם לא, מניחים בשלילה שעבור כל מחלק ראשוני $p$ של סדר החבורה יש יותר מחבורת $p$ - סילו אחת. המגבלות שהוזכרו מעלה גוררות שבמקרה כזה מספר חבורות ה - $p$ - סילו גדול למדי.

• ספירת איברים מסדרים שונים: כעת שמים לב שבכל חבורת $p$ - סילו כל האיברים הם מסדר שהוא חזקה של $p$. יתר על כן, החיתוך של שתי חבורות $p$ - סילו שונות לא יכול להית גדול מדי (בגלל שהוא תת-חבורה בכל אחת מהן). לכן ניתן להשתמש בנוסחת ההכלה וההדחה על מנת לקבל חסם מלרע למספר האיברים שסידרם הוא חזקה (לא טריוויאלית) של $p$ במונחים של החסם מלרע על מספר חבורות ה - $p$ - סילו. כעת מסכמים חסמים אלה עבור כל המחלקים הראשוניים של החבורה. עבודה מספיק מדויקת מספקת חסם מלרע למספר איברי החבורה שגדול ממספר איברי החבורה. זוהי סתירה.

הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא חזקה של מספר ראשוני

במקרה זה החבורה היא חבורת p ולכן פתירה.

הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של שני ראשוניים שונים

נסמן את החבורה ב-$G$ ואת הראשוניים ב-$p$ ו-$q$. נניח בלי הגבלת הכלליות ש-$p>q$. לפי משפט סילו הראשון ל-$G$ יש תת חבורה מסדר $p$. לפי המשפט השלישי של סילו ל-$G$ מספר תתי חבורות מסדר $p$ הוא שקול לאחת מודולו $p$. מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה $p$ סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב-$G$ והוא מחלק את $q$. נקבל שיש לא יותר מ-$q$ תתי חבורות מסדר $p$. ומכיוון ש-$p>q$ נקבל של-$G$ יש בדיוק תת-חבורה אחת מסדר $p$. לכן החבורת $p$ סילו היא תת חבורה נורמלית של $G$. נקבל ש $G$ אינה פשוטה.

הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של מספר ראשוני וריבוע של מספר ראשוני אחר

נסמן את החבורה ב-$G$ ואת הראשוניים ב-$p$ ו-$q$ כך ש-$|G|=p^{2}q$.

המקרה $p>q$

אם $p>q$ אז בצורה דומה למקרה הקודם אפשר להוכיח ש-$G$ אינה פשוטה.

המקרה $p<q$

מכאן נניח כי $p<q$.

מספר תת-חבורות הסילו של החבורה

אם אז לפי משפט סילו הראשון ל-$G$ יש תת-חבורה $p$-סילו ותת חבורה $q$ סילו. מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה $p$-סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב-$G$ והוא מחלק את $q$. מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה $q$-סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב-$G$ והוא מחלק את $p^{2}$. לפי משפט סילו השלישי מספר תתי החבורת $q$-סילו שקול לאחת מודולו $q$. ומכיוון ש-$p\neq 1$ ו-$p<q$ נקבל שמספר תתי החבורות $q$-סילו אינו שווה ל-$p$, לכן הוא או 1 או $p^{2}$ (כי הוא מחלק את$p^{2}$). באופן דומה מספר חבורות $p$-סילו הוא או 1 או $q$.

ספירת איברי החבורה והגעה לסתירה

נניח בשלילה שיש יותר מתת חבורת $q$ סילו אחת, ויותר מתת חבורת $p$ סילו אחת. לכן יש $p^{2}$ חבורות $q$ סילו, ו-$q$ חבורות $p$ סילו.

• הערכת גודל האיחוד של תתי-חבורות $q$-סילו.

החבורות $q$ סילו הן ציקליות כי הן מסדר ראשוני. אם בחיתוך של שתי תתי חבורות ציקליות יש לפחות שני איברים, אז לחבורות האלה יש איבר משותף שהוא לא איבר היחידה, נקבל שהאיבר המשותף הוא יוצר שלהן לכן החבורות הללו זהות. נקבל שהגודל של האיחוד של החבורות $q$ סילו הוא $$(q-1)(p^{2})+1=p^{2}\cdot q-p^{2}+1.$$

• הערכת גודל האיחוד של תתי-חבורות $p$-סילו.

יש לפחות שתי חבורות $p$ סילו שונות. לכן הגודל של האיחוד שלהם הוא לפחות $p^{2}+1$.

• הערכת גודל החבורה וסתירה.

אין אף איבר ב-$G$ חוץ מאיבר היחדה, שהסדר שלו מחלק גם את $p^{2}$ וגם את $q$. לכן החיתוך בין שני האיחודים הוא בגודל אחד. לכן הגודל של האיחוד של האיחודים הוא לפחות $$(p^{2}+1)+(p^{2}\cdot q-p^{2}+1)-1=p^{2}\cdot q+1>|G|$$ מצד שני איחוד זה מוכל ב-$G$ לכן הגודל של האיחוד של האיחודים אינו עלו על הסדר של $G$. סתירה.

סיום ההוכחה

מסתירה זו נובע כי יש תת-חבורת סילו יחידה עבור לפחות אחד מהמחלקים הראשוניים של הסדר של $G$. לכן היא תת-חבורה נורמלית. נקבל ש-$G$ אינה פשוטה.

הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של שלושה ראשוניים שונים

ההוכחה דומה יחסית למקרה הקודם ומתבססת על אותם הרעיונות אך מסובכת יותר.

הדיקות התוצאה

משפט הלדר הדוק במובן הבא: קייומת חבורות פשוטות שסידרן הוא מכפלה של 4 מספרים ראשוניים. למעשה החבורה הפשוטה הקטנה ביותר $A_{5}$ היא מסדר $$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$$

מצד שני, אם מגבלים את הראשוניים המחלקים את סדר החבורה, אז ניתן להוכיח הגבלות חזקות בהרבה על הסדר של חבורת לא פתירות. כמו למשל משפט ברנסיד ומשפט פייט תומפסון. למעשה, לפי משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הסדר של חבורה פשוטה מוגבל ביותר.

היסטוריה רקע ושימושים

משפט הלדר הוכח בשנת 1893 על ידי אוטו הלדר (Otto Hölder) והיה אחד הצעדים הראשונים בהוכחת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. שנה לפני שהוכיח את המשפט, מיין הלדר את כל החבורות הפשוטות עד סדר 200. מיון זה התבסס על אותם רעיונות כמו הוכחת המשפט. לאחר מכן הלדר השתמש ברעיונות אלה כדי להוכיח את המשפט.

בדיעבד ניתן להוכיח בקלות יחסית, באמצעות משפט הלדר, שכל חבורה בגודל פחות משישים פתירה. למעשה טענה זו נובעת מידית ממשפט הלדר ביחד עם משפט ברנסיד שהוכח שנים רבות מאוחר יותר.

קישורים חיצוניים

• Die Gruppen der Ordnungen $p^{3},pq^{2},pqr,p^{4}$ - המאמר המקורי של הלדר בגרמנית
• ביוגרפיה של אוטו הלדר באתר MacTutor, מכילה מידע על עבודותיו בתורת החבורות ועל משפט זה בפרט.