משתמש:MathKnight/כלל הקונבולוציה

משפט: טרנספורם פורייה של קונבולוציה של 2 פונקציות הוא מכפלת טרנספורמי הפורייה של הפונקציות.

הוכחה: נוכיח ש ${\widehat {f*g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {g}}$ באמצעות התמרת פורייה.

$\ f*g=\int {f(t-s)g(s)ds}=\int {ds\left({\frac {1}{2\pi }}\int F(\omega )e^{i\omega (t-s)}d\omega \right)\left({\frac {1}{2\pi }}\int G(w)e^{iws}dw\right)}=$

$\ ={\frac {1}{2\pi }}\int {d\omega \int dwF(\omega )G(w)e^{i\omega t}{\frac {1}{2\pi }}\int {e^{i(w-\omega )s}ds}}=$

$={\frac {1}{2\pi }}\int {d\omega F(\omega )e^{i\omega t}\int G(w)\delta (w-\omega )dw}={\frac {1}{2\pi }}\int {F(\omega )G(\omega )e^{i\omega t}d\omega }$

מה שהיה להוכיח.