כיתוב תמונה בפיזיקה של חומר מעובה, צימוד פלורופור-מתכת בתהודה פלסמונית מקומית (באנגלית: Fluorophore-metal coupling at Localized Surface Plasmon Resonance או בקיצור Fluorophore-metal coupling at LSPR) הוא מצב פיזיקלי בו פלורופור וננו-חלקיק מתכת מצומדים בקרבת שדה אלקטרומגנטי כך שיתכנו שני אפקטים בסביבה זו- הנחתה בעוצמת הפלואורסצנציה (Quenching), או שיפור הפלואורסצנציה בקרבת ננו-חלקיק המתכת (LSPR-MEF).
γ
^
(
R
)
=
1
+
3
2
η
(
k
1
R
)
−
3
μ
−
2
∑
l
=
1
∞
[
(
l
+
1
)
(
(
l
+
1
)
μ
⊥
2
+
1
2
l
μ
∥
2
)
Im
{
l
(
ε
(
ω
)
−
ε
m
)
l
ε
(
ω
)
+
(
l
+
1
)
ε
m
}
(
a
R
)
2
l
+
1
]
=
1
+
3
2
η
(
ε
m
ω
c
R
)
−
3
μ
−
2
∑
l
=
1
∞
[
(
l
+
1
)
(
(
l
+
1
)
μ
⊥
2
+
1
2
l
μ
∥
2
)
Im
{
l
(
ε
(
ω
)
−
ε
m
)
l
ε
(
ω
)
+
(
l
+
1
)
ε
m
}
(
a
R
)
2
l
+
1
]
=
1
+
3
η
c
3
2
ε
m
1.5
ω
3
R
3
μ
2
∑
l
=
1
∞
[
(
l
+
1
)
(
(
l
+
1
)
μ
⊥
2
+
1
2
l
μ
∥
2
)
Im
{
l
(
ε
(
ω
)
−
ε
m
)
l
ε
(
ω
)
+
(
l
+
1
)
ε
m
}
(
a
R
)
2
l
+
1
]
=
1
+
3
η
c
3
2
ε
m
1.5
ω
3
R
3
∑
l
=
1
∞
[
(
l
+
1
)
2
Im
{
l
(
ε
(
ω
)
−
ε
m
)
l
ε
(
ω
)
+
(
l
+
1
)
ε
m
}
(
a
R
)
2
l
+
1
]
≈
1
+
6
η
c
3
a
3
ε
m
1.5
ω
3
R
6
Im
{
ε
(
ω
)
−
ε
m
ε
(
ω
)
+
2
ε
m
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
R
2
ε
m
)
3
Im
{
ε
(
ω
)
−
ε
m
ε
(
ω
)
+
2
ε
m
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
R
2
ε
m
)
3
Im
{
ε
(
ω
)
−
ε
m
ε
r
e
(
ω
)
+
i
ε
i
m
(
ω
)
+
2
ε
m
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
ε
(
ω
L
S
P
R
)
−
ε
m
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
ε
(
ω
L
S
P
R
)
−
ε
m
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
ε
r
e
(
ω
L
S
P
R
)
+
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
−
ε
m
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
−
2
ε
m
+
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
−
ε
m
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
−
3
ε
m
i
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
Im
{
1
+
i
3
ε
m
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
}
=
1
+
6
η
(
c
a
ω
L
S
P
R
R
2
ε
m
)
3
3
ε
m
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
⇒
γ
^
(
R
)
≈
18
η
ε
i
m
(
ω
L
S
P
R
)
ε
m
(
c
a
R
2
ω
L
S
P
R
)
3
η
=
1
,
ε
m
=
1
,
c
=
2.998
⋅
10
8
m
s
,
a
=
10
−
8
m
,
ω
L
S
P
R
=
5.345
⋅
10
15
H
z
,
ε
i
m
(
5.345
⋅
10
15
)
=
0.28
:
γ
^
(
R
)
≈
18
0.28
(
2.998
⋅
10
8
⋅
10
−
8
R
2
5.345
⋅
10
15
)
3
=
1.1344
⋅
10
−
44
R
6
⇒
γ
^
(
10
−
8
)
=
1.134
⋅
10
−
44
(
10
−
8
)
6
=
11340
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\gamma }}\left(R\right)=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({{k}_{1}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}{\frac {\omega }{c}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}{{\mu }^{2}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[{{\left(l+1\right)}^{2}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\approx 1+{\frac {6\eta {{c}^{3}}{{a}^{3}}}{\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{6}}}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {{{\varepsilon }_{re}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {-2{{\varepsilon }_{m}}+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-3{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{1+i{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\\&\Rightarrow {\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18\eta }{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right){\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}{{\left({\frac {ca}{{{R}^{2}}{{\omega }_{LSPR}}}}\right)}^{3}}\\&\eta =1,{{\varepsilon }_{m}}=1,c=2.998\cdot {{10}^{8}}_{\frac {m}{s}},a={{10}^{-8}}_{m},{{\omega }_{LSPR}}=5.345\cdot {{10}^{15}}_{Hz},{{\varepsilon }_{im}}\left(5.345\cdot {{10}^{15}}\right)=0.28:\\&{\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18}{0.28}}{{\left({\frac {2.998\cdot {{10}^{8}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{R}^{2}}5.345\cdot {{10}^{15}}}}\right)}^{3}}={\frac {1.1344\cdot {{10}^{-44}}}{{R}^{6}}}\Rightarrow \\&{\hat {\gamma }}\left({{10}^{-8}}\right)={\frac {1.134\cdot {{10}^{-44}}}{{\left({{10}^{-8}}\right)}^{6}}}=11340\\\end{aligned}}}
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
החלקיק הכללי הפשוט ביותר בעל צורה רגולרית הוא האליפסואיד, שמשוואת שטח פניו היא
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{c}^{2}}}=1}
a
,
b
,
c
{\displaystyle \ a,b,c}
a
>
b
>
c
{\displaystyle a>b>c}
[ 1]
כיתוב תמונה בהינתן אליפסואיד תחת הקירוב הקוואזי-סטטי, ניתן לבסס מודל אנליטי תחתיו אינטראקציה של האליפסואיד עם חלקיקים קרובים תינתן לתיאור כצימוד של דיפול-חלקיק[ 2]
ε
m
{\displaystyle {{\varepsilon }_{m}}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
(
ξ
,
η
,
ζ
)
{\displaystyle \left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}
{
|
x
|
=
(
a
2
+
ξ
)
(
a
2
+
η
)
(
a
2
+
ζ
)
(
a
2
−
b
2
)
(
a
2
−
c
2
)
|
y
|
=
(
b
2
+
ξ
)
(
b
2
+
η
)
(
b
2
+
ζ
)
(
b
2
−
a
2
)
(
b
2
−
c
2
)
|
z
|
=
(
c
2
+
ξ
)
(
c
2
+
η
)
(
c
2
+
ζ
)
(
c
2
−
a
2
)
(
c
2
−
b
2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\left|x\right|={\sqrt {\frac {\left({{a}^{2}}+\xi \right)\left({{a}^{2}}+\eta \right)\left({{a}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{a}^{2}}-{{b}^{2}}\right)\left({{a}^{2}}-{{c}^{2}}\right)}}}\\&\left|y\right|={\sqrt {\frac {\left({{b}^{2}}+\xi \right)\left({{b}^{2}}+\eta \right)\left({{b}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{b}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{b}^{2}}-{{c}^{2}}\right)}}}\\&\left|z\right|={\sqrt {\frac {\left({{c}^{2}}+\xi \right)\left({{c}^{2}}+\eta \right)\left({{c}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{c}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{c}^{2}}-{{b}^{2}}\right)}}}\\\end{aligned}}\right.}
כאשר
−
ξ
<
c
2
<
−
η
<
b
2
<
−
ζ
<
a
2
{\displaystyle -\xi <{{c}^{2}}<-\eta <{{b}^{2}}<-\zeta <{{a}^{2}}}
t
0
{\displaystyle {{t}_{0}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
E
→
(
t
0
;
|
r
→
|
≪
λ
)
≈
E
0
z
^
{\displaystyle {\vec {E}}\left({{t}_{0}};\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{\hat {z}}}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
V
0
=
−
E
→
0
⋅
r
→
=
−
E
0
z
^
⋅
(
x
x
^
+
y
y
^
+
z
z
^
)
=
−
E
0
(
c
2
+
ξ
)
(
c
2
+
η
)
(
c
2
+
ζ
)
(
c
2
−
a
2
)
(
c
2
−
b
2
)
{\displaystyle {{V}_{0}}=-{{\vec {E}}_{0}}\cdot {\vec {r}}=-{{E}_{0}}{\hat {z}}\cdot \left(x{\hat {x}}+y{\hat {y}}+z{\hat {z}}\right)=-{{E}_{0}}{\sqrt {\frac {\left({{c}^{2}}+\xi \right)\left({{c}^{2}}+\eta \right)\left({{c}^{2}}+\zeta \right)}{\left({{c}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\left({{c}^{2}}-{{b}^{2}}\right)}}}}
ובכן, עבור מודל זה ותחת ההנחות דלעיל, ניתן להראות כי הביטויים
V
i
n
(
ξ
,
η
,
ζ
)
{\displaystyle {{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}
V
o
u
t
(
ξ
,
η
,
ζ
)
{\displaystyle {{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)}
∇
2
V
=
(
η
−
ζ
)
Φ
(
ξ
)
d
d
ξ
(
Φ
(
ξ
)
d
V
d
ξ
)
+
(
ζ
−
ξ
)
Φ
(
η
)
d
d
η
(
Φ
(
η
)
d
V
d
η
)
+
(
ξ
−
η
)
Φ
(
ζ
)
d
d
ζ
(
Φ
(
ζ
)
d
V
d
ζ
)
=
0
{
Φ
(
φ
)
=
(
φ
+
a
2
)
(
φ
+
b
2
)
(
φ
+
c
2
)
}
{\displaystyle {\begin{matrix}{{\nabla }^{2}}V=\left(\eta -\zeta \right)\Phi \left(\xi \right){\frac {d}{d\xi }}\left(\Phi \left(\xi \right){\frac {dV}{d\xi }}\right)+\left(\zeta -\xi \right)\Phi \left(\eta \right){\frac {d}{d\eta }}\left(\Phi \left(\eta \right){\frac {dV}{d\eta }}\right)+\left(\xi -\eta \right)\Phi \left(\zeta \right){\frac {d}{d\zeta }}\left(\Phi \left(\zeta \right){\frac {dV}{d\zeta }}\right)=0\\\left\{{\text{ }}\Phi \left(\varphi \right)={\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}{\text{ }}\right\}\\\end{matrix}}}
ובלבד שיתקיימו התנאים הפיזיקליים:
לרציפות הפוטנציאל:
V
i
n
(
0
,
η
,
ζ
)
=
V
o
u
t
(
0
,
η
,
ζ
)
{\displaystyle {{V}_{in}}\left(0,\eta ,\zeta \right)={{V}_{out}}\left(0,\eta ,\zeta \right)}
ולרציפות הרכיב הנורמלי של שדה ההעתקה החשמלי:
ε
d
V
i
n
d
ξ
|
ξ
=
0
=
ε
m
d
V
o
u
t
d
ξ
|
ξ
=
0
{\displaystyle {{\left.\varepsilon {\frac {d{{V}_{in}}}{d\xi }}\right|}_{\xi =0}}={{\left.{{\varepsilon }_{m}}{\frac {d{{V}_{out}}}{d\xi }}\right|}_{\xi =0}}}
כך שתחת התנאי
V
i
n
(
ξ
,
η
,
ζ
)
<
∞
{\displaystyle {{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)<\infty }
V
i
n
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
ε
m
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
V
0
{\displaystyle {{V}_{in}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)={\frac {{\varepsilon }_{m}}{{{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}}}{{V}_{0}}}
ותחת התנאי
lim
ξ
→
∞
V
o
u
t
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
V
0
{\displaystyle {\underset {\xi \to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)={{V}_{0}}}
V
o
u
t
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
(
1
+
a
b
c
(
ε
m
−
ε
)
2
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
∫
ξ
∞
d
φ
(
c
2
+
φ
)
(
φ
+
a
2
)
(
φ
+
b
2
)
(
φ
+
c
2
)
)
V
0
{\displaystyle {{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{2\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}\int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\right){{V}_{0}}}
כאשר
L
z
{\displaystyle {{L}_{z}}}
z
^
{\displaystyle {\hat {z}}}
L
z
=
a
b
c
2
∫
0
∞
1
(
c
2
+
φ
)
(
φ
+
a
2
)
(
φ
+
b
2
)
(
φ
+
c
2
)
d
φ
{\displaystyle {{L}_{z}}={\frac {abc}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\frac {1}{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}d\varphi }}
עבור
−
c
2
<
ξ
<
∞
{\displaystyle -{{c}^{2}}<\xi <\infty }
x
2
a
2
+
ξ
+
y
2
b
2
+
ξ
+
z
2
c
2
+
ξ
=
1
{\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{{{a}^{2}}+\xi }}+{\frac {{y}^{2}}{{{b}^{2}}+\xi }}+{\frac {{z}^{2}}{{{c}^{2}}+\xi }}=1}
ξ
≫
a
2
{\displaystyle \xi \gg {{a}^{2}}}
ξ
≈
r
2
{\displaystyle \xi \approx {{r}^{2}}}
r
2
≫
a
2
{\displaystyle {{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}}
r
2
≫
a
2
{\displaystyle {{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}}
∫
ξ
∞
d
φ
(
c
2
+
φ
)
(
φ
+
a
2
)
(
φ
+
b
2
)
(
φ
+
c
2
)
≈
∫
ξ
∞
d
φ
φ
2.5
=
2
3
ξ
−
1.5
=
2
3
r
3
{\displaystyle \int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\approx \int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{{\varphi }^{2.5}}}={\frac {2}{3}}{{\xi }^{-1.5}}={\frac {2}{3{{r}^{3}}}}}
⇒
V
o
u
t
(
ξ
,
η
,
ζ
)
=
(
1
+
a
b
c
(
ε
m
−
ε
)
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
r
3
)
V
0
{\displaystyle \Rightarrow {{V}_{out}}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}\right){{V}_{0}}}
כעת, ניתן להציג את הפוטנציאל החשמלי החיצוני הכולל כסכום של הפוטנציאל החיצוני (מהשדה המוקרן)
V
0
{\displaystyle {{V}_{0}}}
V
p
=
a
b
c
(
ε
m
−
ε
)
V
0
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
r
3
=
a
b
c
(
ε
−
ε
m
)
E
0
z
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
r
3
{\displaystyle {{V}_{p}}={\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right){{V}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}={\frac {abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}z}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{3}}}}}
וכך ניתן להגדיר את מומנט הדיפול של האליפסואיד בהתאם לביטוי זה (כאשר גאומטרית ברור ש-
z
r
=
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\frac {z}{r}}=\cos \left(\theta \right)}
V
p
=
a
b
c
(
ε
−
ε
m
)
E
0
cos
(
θ
)
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
r
2
=
1
4
π
ε
0
ε
m
r
2
4
π
ε
0
ε
m
a
b
c
(
ε
−
ε
m
)
E
0
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
z
^
⋅
r
^
=
1
4
π
ε
0
r
2
p
→
M
N
P
⋅
r
^
{\displaystyle {{V}_{p}}={\frac {abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}\cos \left(\theta \right)}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{2}}}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{r}^{2}}}}{\frac {4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}{\hat {z}}\cdot {\hat {r}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}}{{\vec {p}}_{MNP}}\cdot {\hat {r}}}
⇒
p
→
M
N
P
=
4
π
ε
0
ε
m
a
b
c
(
ε
−
ε
m
)
E
0
3
(
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
)
z
^
=
ν
ε
0
ε
m
E
0
L
z
+
ε
m
ε
−
ε
m
z
^
=
(
ε
−
ε
m
)
ν
ε
0
ε
m
E
0
L
z
(
ε
r
e
(
ω
)
−
(
1
−
1
L
z
)
ε
m
)
+
i
L
z
ε
i
m
(
ω
)
z
^
{\displaystyle \Rightarrow {{\vec {p}}_{MNP}}={\frac {4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}abc\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{E}_{0}}}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}{\hat {z}}={\frac {\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}{\hat {z}}={\frac {\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}\left({{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)-\left(1-{\frac {1}{{L}_{z}}}\right){{\varepsilon }_{m}}\right)+i{{L}_{z}}{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)}}{\hat {z}}}
כאשר
ν
{\displaystyle \nu }
ε
=
ε
(
ω
)
=
ε
r
e
(
ω
)
+
i
ε
i
m
(
ω
)
{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \left(\omega \right)={{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)}
במקרה זה[ 3]
E
→
(
t
;
|
r
→
|
≪
λ
)
≈
E
0
e
−
i
ω
t
z
^
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t;\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}}
p
→
M
N
P
=
(
ε
−
ε
m
)
ν
ε
0
E
0
ε
m
+
(
ε
−
ε
m
)
L
z
e
−
i
ω
t
z
^
{\displaystyle {{\vec {p}}_{MNP}}={\frac {\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)\nu {{\varepsilon }_{0}}{{E}_{0}}}{{{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}}
p
→
=
ε
0
ε
m
α
E
→
{\displaystyle {\vec {p}}={{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}\alpha {\vec {E}}}
α
=
ν
L
z
+
ε
m
ε
−
ε
m
{\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}}
ובכן, ניתן ללמוד ממודל זה על האופי הקרינתי של החלקיק. נקודה מעניינת היא קיומה של עוצמת שדה מוגברת באזורים מסוימים ב-
z
>
0
{\displaystyle z>0}
ε
r
e
(
ω
)
=
(
1
−
1
L
z
)
ε
m
{\displaystyle {{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)=\left(1-{\frac {1}{{L}_{z}}}\right){{\varepsilon }_{m}}}
ω
L
S
P
R
=
ω
p
1
1
+
(
1
L
z
−
1
)
ε
m
−
1
ω
p
2
τ
2
≈
ω
p
1
+
(
1
L
z
−
1
)
ε
m
{\displaystyle {{\omega }_{LSPR}}={{\omega }_{p}}{\sqrt {{\frac {1}{1+\left({\frac {1}{{L}_{z}}}-1\right){{\varepsilon }_{m}}}}-{\frac {1}{\omega _{p}^{2}{{\tau }^{2}}}}}}\approx {\frac {{\omega }_{p}}{1+\left({\frac {1}{{L}_{z}}}-1\right){{\varepsilon }_{m}}}}}
מאחר ש-
ε
r
e
(
ω
)
=
1
−
ω
p
2
τ
2
1
+
ω
2
τ
2
{\displaystyle {{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)=1-{\frac {\omega _{p}^{2}{{\tau }^{2}}}{1+{{\omega }^{2}}{{\tau }^{2}}}}}
τ
{\displaystyle \tau }
ε
m
{\displaystyle {{\varepsilon }_{m}}}
כאמור, הניתוח של פיזור הקרינה מחלקיק מתכת תחת הקירוב הקוואזי-סטטי מנבא רזוננס פלסמוני במומנט הדיפול של החלקיק. למעשה, כפי שמנבא תאוריית מיי, אפקט זה קיים גם אצל חלקיקים מוקרנים אשר אינם עומדים בתנאי הקירוב הקוואזי-סטטי, אך עדיין בעלי ממדים מסדר הגודל של אורך הגל הפוגע. במקרה זה הפיתוח האנליטי מורכב בהרבה, אך למשל במקרה של חלקיק מתכת כדורי ניתן לקרב את הביטוי המתקבל עבור הפולריזביליות על ידי מנת פולינומים:
α
M
i
e
=
1
−
1
10
(
ε
+
ε
m
)
x
2
+
O
(
x
4
)
ε
+
2
ε
m
3
(
ε
−
ε
m
)
−
1
30
(
ε
+
10
ε
m
)
x
2
−
i
4
π
2
ε
m
1.5
3
⋅
ν
λ
0
3
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle {{\alpha }_{Mie}}={\frac {1-{\frac {1}{10}}\left(\varepsilon +{{\varepsilon }_{m}}\right){{x}^{2}}+O\left({{x}^{4}}\right)}{{\frac {\varepsilon +2{{\varepsilon }_{m}}}{3\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right)}}-{\frac {1}{30}}\left(\varepsilon +10{{\varepsilon }_{m}}\right){{x}^{2}}-i{\frac {4{{\pi }^{2}}\varepsilon _{m}^{1.5}}{3}}\cdot {\frac {\nu }{\lambda _{0}^{3}}}+O\left({{x}^{4}}\right)}}}
כאשר
x
=
π
a
λ
0
{\displaystyle x={\frac {\pi a}{{\lambda }_{0}}}}
λ
0
{\displaystyle {{\lambda }_{0}}}
תוכן.
תוכן.
תוכן.
תוכן.
שם סופר, שם ספר , שם הוצאה, תאריך הוצאה
^ .
^ .
^ כאשר הפלסמונים מספיקים 'לעקוב' אחר השדה החיצוני
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\gamma }}\left(R\right)=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({{k}_{1}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3}{2}}\eta {{\left({\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}{\frac {\omega }{c}}R\right)}^{-3}}{{\mu }^{-2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}{{\mu }^{2}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[\left(l+1\right)\left(\left(l+1\right)\mu _{\bot }^{2}+{\frac {1}{2}}l\mu _{\parallel }^{2}\right)\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\\&=1+{\frac {3\eta {{c}^{3}}}{2\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{3}}}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\left[{{\left(l+1\right)}^{2}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {l\left(\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}\right)}{l\varepsilon \left(\omega \right)+\left(l+1\right){{\varepsilon }_{m}}}}\right\}{{\left({\frac {a}{R}}\right)}^{2l+1}}\right]}\approx 1+{\frac {6\eta {{c}^{3}}{{a}^{3}}}{\varepsilon _{m}^{1.5}{{\omega }^{3}}{{R}^{6}}}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon \left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{\omega {{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left(\omega \right)-{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{re}}\left(\omega \right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left(\omega \right)+2{{\varepsilon }_{m}}}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {\varepsilon \left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {{{\varepsilon }_{re}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {-2{{\varepsilon }_{m}}+i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{{\frac {i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)-3{{\varepsilon }_{m}}}{i{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}\\&=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}\operatorname {Im} \left\{1+i{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\right\}=1+6\eta {{\left({\frac {ca}{{{\omega }_{LSPR}}{{R}^{2}}{\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}\right)}^{3}}{\frac {3{{\varepsilon }_{m}}}{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right)}}\\&\Rightarrow {\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18\eta }{{{\varepsilon }_{im}}\left({{\omega }_{LSPR}}\right){\sqrt {{\varepsilon }_{m}}}}}{{\left({\frac {ca}{{{R}^{2}}{{\omega }_{LSPR}}}}\right)}^{3}}\\&\eta =1,{{\varepsilon }_{m}}=1,c=2.998\cdot {{10}^{8}}_{\frac {m}{s}},a={{10}^{-8}}_{m},{{\omega }_{LSPR}}=5.345\cdot {{10}^{15}}_{Hz},{{\varepsilon }_{im}}\left(5.345\cdot {{10}^{15}}\right)=0.28:\\&{\hat {\gamma }}\left(R\right)\approx {\frac {18}{0.28}}{{\left({\frac {2.998\cdot {{10}^{8}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{R}^{2}}5.345\cdot {{10}^{15}}}}\right)}^{3}}={\frac {1.1344\cdot {{10}^{-44}}}{{R}^{6}}}\Rightarrow \\&{\hat {\gamma }}\left({{10}^{-8}}\right)={\frac {1.134\cdot {{10}^{-44}}}{{\left({{10}^{-8}}\right)}^{6}}}=11340\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c11d7c10518aa861e1c185d461e1fef4c2738d)
