מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(List of integrals of trigonometric functions )
∫
cos
2
(
x
)
d
x
=
x
2
+
1
4
sin
(
2
x
)
+
C
=
1
2
[
x
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
{\displaystyle \int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\sin(2x)+C={\frac {1}{2}}[x+\sin(x)\cos(x)]}
∫
sin
2
(
x
)
d
x
=
1
2
[
x
−
sin
(
x
)
cos
(
x
)
]
{\displaystyle \int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}[x-\sin(x)\cos(x)]}
∫
sin
3
(
x
)
d
x
=
1
4
[
cos
(
3
x
)
3
−
3
cos
(
x
)
]
{\displaystyle \int \sin ^{3}(x)\,dx={\frac {1}{4}}[{\frac {\cos(3x)}{3}}-3\cos(x)]}
נצייר על פני הכדור דיסקה מקבילה למישור xy , שגובהה (באלכסון!) הוא ds . כל נקודה P בהיקף הדיסקה מחוברת למרכז הכדור O באמצעות הרדיוס R , היוצר עם ציר ה-z זוית
∠
P
O
N
=
θ
{\displaystyle \angle PON=\theta }
, כש-N הוא "הקוטב הצפוני" של הכדור;
d
s
=
R
⋅
d
θ
{\displaystyle ds=R\cdot d\theta }
.
היקף הדיסקה:
2
π
r
=
2
π
R
sin
(
θ
)
{\displaystyle 2\pi r=2\pi R\sin(\theta )}
שטח הדופן של הדיסקה:
2
π
r
⋅
d
s
=
2
π
R
sin
(
θ
)
⋅
R
⋅
d
θ
{\displaystyle 2\pi r\cdot ds=2\pi R\sin(\theta )\cdot R\cdot d\theta }
שטח פני הכדור:
S
=
∫
0
π
2
π
R
2
sin
(
θ
)
⋅
d
θ
=
{\displaystyle S=\int _{0}^{\pi }2\pi R^{2}\sin(\theta )\cdot d\theta =}
=
2
π
R
2
⋅
[
−
cos
(
θ
)
]
|
0
π
=
−
2
π
R
2
⋅
(
−
1
−
1
)
=
4
π
R
2
{\displaystyle =2\pi R^{2}\cdot [-\cos(\theta )]|_{0}^{\pi }=-2\pi R^{2}\cdot (-1-1)=4\pi R^{2}}
נצייר על פני הכדור דיסקה, שגובהה הוא:
d
h
=
d
s
⋅
sin
(
θ
)
=
R
⋅
d
θ
⋅
sin
(
θ
)
{\displaystyle dh=ds\cdot \sin(\theta )=R\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )}
.
שטח הדיסקה:
π
r
2
=
π
[
R
sin
(
θ
)
]
2
{\displaystyle \pi r^{2}=\pi [R\sin(\theta )]^{2}}
נפח הדיסקה:
π
r
2
⋅
d
h
=
π
R
2
sin
2
(
θ
)
⋅
R
⋅
d
θ
⋅
sin
(
θ
)
{\displaystyle \pi r^{2}\cdot dh=\pi R^{2}\sin ^{2}(\theta )\cdot R\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )}
נפח הכדור:
V
=
π
R
3
∫
0
π
sin
3
(
θ
)
⋅
d
θ
=
{\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}(\theta )\cdot d\theta =}
=
π
R
3
4
⋅
[
cos
(
3
θ
)
3
−
3
cos
(
θ
)
]
|
0
π
=
π
R
3
4
⋅
[
−
2
3
+
6
]
=
4
3
π
R
3
{\displaystyle ={\frac {\pi R^{3}}{4}}\cdot [{\frac {\cos(3\theta )}{3}}-3\cos(\theta )]|_{0}^{\pi }={\frac {\pi R^{3}}{4}}\cdot [-{\frac {2}{3}}+6]={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}
בחישוב גדלים גאומטריים (שטח או נפח), התוצאה תלויה ברדיוס R; בחישוב ממוצעים של פונקציות טריגונומטריות , גודל הרדיוס R אינו חשוב, ולכן אפשר לקחת אותו כ-R=1.
מספיק לחשב על פני רבע מעגל:
⟨
sin
(
θ
)
⟩
=
∫
0
π
2
sin
(
θ
)
d
θ
∫
0
π
2
d
θ
=
−
cos
(
θ
)
|
0
π
2
π
2
=
−
(
0
−
1
)
π
2
=
2
π
{\displaystyle \langle \sin(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\theta )d\theta }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}={\frac {-\cos(\theta )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {-(0-1)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}
אפשר לחשב על פני רבע מעגל; נחשב על חצי מעגל:
⟨
sin
2
(
θ
)
⟩
=
∫
0
π
sin
2
(
θ
)
d
θ
π
=
1
π
⋅
[
θ
2
−
sin
(
2
θ
)
4
]
|
0
π
=
1
π
(
π
2
−
0
−
0
+
0
)
=
1
2
{\displaystyle \langle \sin ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(\theta )d\theta }{\pi }}={\frac {1}{\pi }}\cdot [{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin(2\theta )}{4}}]|_{0}^{\pi }={\frac {1}{\pi }}({\frac {\pi }{2}}-0-0+0)={\frac {1}{2}}}
ככל ש-θ גדלה, כך יש "יותר קווים" של (cos(θ (לאורך היקף המעגל שרדיוסו (sin(θ), ומידת ה"יותר" היא בהתאם להיקף המעגל. ההיקף:
2
π
sin
(
θ
)
{\displaystyle 2\pi \sin(\theta )}
, ולכן לכל θ צריך לקחת את
c
o
s
2
(
θ
)
{\displaystyle cos^{2}(\theta )}
, להכפיל בהיקף המעגל, לסכם על כל ה-θ, ובסוף לחלק ב"מספר הכולל של קווים שלקחנו", שהוא: שטח פני כדור שרדיוסו R=1, או: S=4π.
מכיוון שמסכמים את כל האברים האלה על פני שינוי ב-θ, אז כל סכום הוא טור אינסופי מוכפל ב-Δθ; הממוצע המבוקש הוא מנת שניהם:
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
1
n
cos
2
(
θ
i
)
sin
(
θ
i
)
Δ
θ
∑
i
=
1
n
2
π
sin
(
θ
i
)
Δ
θ
=
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
sin
(
θ
)
d
θ
2
π
∫
0
π
sin
(
θ
)
d
θ
=
{\displaystyle \langle \cos ^{2}(\theta )\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{n}\cos ^{2}(\theta _{i})\sin(\theta _{i})\Delta \theta }{\sum _{i=1}^{n}2\pi \sin(\theta _{i})\Delta \theta }}={\frac {2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )d\theta }}=}
=
2
π
⋅
−
1
3
cos
3
(
θ
)
|
0
π
2
π
⋅
−
cos
(
θ
)
|
0
π
=
−
2
π
3
[
(
−
1
)
−
1
]
−
2
π
[
(
−
1
)
−
1
]
=
4
π
3
4
π
=
1
3
{\displaystyle ={\frac {2\pi \cdot -{\frac {1}{3}}\cos ^{3}(\theta )|_{0}^{\pi }}{2\pi \cdot -\cos(\theta )|_{0}^{\pi }}}={\frac {-{\frac {2\pi }{3}}[(-1)-1]}{-2\pi [(-1)-1]}}={\frac {\frac {4\pi }{3}}{4\pi }}={\frac {1}{3}}}
דרך אחרת:
d
(
cos
(
θ
)
)
=
−
d
h
=
−
1
⋅
d
θ
⋅
sin
(
θ
)
{\displaystyle d(\cos(\theta ))=-dh=-1\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )}
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
|
∫
0
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
d
(
cos
(
θ
)
)
d
ϕ
|
4
π
=
|
−
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
sin
(
θ
)
d
θ
|
4
π
=
4
3
π
4
π
=
1
3
{\displaystyle \langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {|\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )d(\cos(\theta )\,)d\phi |}{4\pi }}={\frac {|-2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta |}{4\pi }}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi }{4\pi }}={\frac {1}{3}}}
⟨
sin
2
(
θ
)
⟩
=
⟨
1
−
cos
2
(
θ
)
⟩
=
1
−
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
2
3
{\displaystyle \langle \sin ^{2}(\theta )\rangle =\langle 1-\cos ^{2}(\theta )\rangle =1-\langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {2}{3}}}