משתמש:יחס הזהב/משוואות ומטריצות

מערכת הומוגנית

• במערכת הומוגנית אם $u$ ו-$v$ הם פתרונות אז גם $u+v$ הוא פתרון.
• אם $u$ הוא פתרון אז לכל סקלר $\alpha$ גם $\alpha \cdot u$ הוא פתרון.
• רק במערכת משוואות הומוגנית אם יש יותר נעלמים ממשוואות אז יש אינסוף פתרונות. אם היא לא הומוגנית יכולה להיות סתירה.
• לכל משוואה הומוגנית יש לפחות פתרון אחד - הפתרון הטרוויאלי.
• מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות.
• מעל שדה סופי בגודל $q$, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של $q$.

מטריצה ריבועית

הפיכות

• מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית.
• מטריצת האפס לא הפיכה, מטריצת היחידה כן הפיכה.
• למטריצה הפיכה אין שורת אפסים.
• לכל מטריצה יש הופכית יחידה.
• לכל מטריצה אלמנטרית קיימת מטריצה הפוכה
• AB הפיכה אם"ם A הפיכה וגם B הפיכה - חשוב!!!

תכונות אלגבריות

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
• לכל סקלר $k\neq 0$ מתקיים $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

סימטריה ואנטי סימטריה

• מטריצה אנטי-סימטרית היא $A^{t}=-A$
• מטריצה סימטרית היא $A=A^{t}$
• מטריצה סימטרית ומטריצה אנטי-סמיטרית חייבות להיות ריבועיות.

תכונות שחלוף

• $\!\,(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$.
• $\!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{t})$.
• $\!\,(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$
• $\!\,(A^{t})^{t}=A$

טיפים

טיפ: מבקשים דוגמה נגדית על מטריצה הפיכה, תן דוגמה נכונה עם מטריצה לא ריבועית, ואז בוודאי גם לא הפיכה.

טיפ: לפעמים עוזר למצוא דוגמאות נגדיות עם מטריצות בעלות שורות אפסים.