משתמש:יחס הזהב/טיוטה3

שאלה 8 סעיף ב'

צ"ל: $(A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset )\Leftarrow (A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset$

נוכיח על דרך הקונטרה פוזיטיב: $\neg ((A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset )\Leftarrow \neg ((A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset ))$. נפשט לפי זהויות לוגיות:

• רישא:$\neg ((A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset ))\equiv \ \neg (A\cap C=\emptyset )\land \neg (B\cap D=\emptyset )\equiv \ (A\cap C\neq \emptyset )\land (B\cap D\neq \emptyset )$
• סיפא: $\neg ((A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset )\equiv (A\times B)\cap (C\times D)\neq \emptyset$

אזי, נוכיח $(A\times B)\cap (C\times D)\neq \emptyset \Leftarrow (A\cap C\neq \emptyset )\land (B\cap D\neq \emptyset )$

הוכחה:

$(A\cap C\neq \emptyset )\land (B\cap D\neq \emptyset )$ אז $\exists x:x\in A\land x\in C$ וגם $\exists y:y\in B\land y\in D$

אז לפי הגדרת מכפלה קרטזית קיים זוג סדור $<x,y>$ כך ש-$<x,y>\in A\times B$ וגם $<x,y>\in C\times D$.

אז לפי הגדרת חיתוך $<x,y>\in (A\times B)\cap (C\times D)$ ולכן $(A\times B)\cap (C\times D)\neq \emptyset$. מש"ל.