משתמש:יחס הזהב/טיוטה15

שאלה 9
נניח בשלילה שקיימים $m,n\in \mathbb {N}$ כך ש- ${\frac {m}{n}}={\sqrt {3}}$ כאשר ${\frac {m}{n}}$ הוא שבר מצומצם.
$(*)$ נשים לב: $({\tfrac {m}{n}})^{2}=({\sqrt {3}})^{2}\iff {\tfrac {m^{2}}{n^{2}}}=3\iff m^{2}=3n^{2}$ .
$n\in \mathbb {N}$ לפי ההנחה. אז גם $n\cdot n=n^{2}\in \mathbb {N}$ , נסמנו $k$ . כלומר קיים $k\in \mathbb {N}$ כך ש- $m^{2}=3k$ אז לפי הגדרה $3\mid m^{2}$ .
מכך ש- $3\mid m^{2}$ ומהטענה הנתונה נובע $3\mid m$ . אז לפי הגדרה קיים $l\in \mathbb {N}$ כך ש- $m=3l$ .

מ- $m=3l$ ומ- $(*)$ נובע: $m^{2}=3n^{2}\iff (3l)^{2}=3n^{2}\iff 9l^{2}=3n^{2}\iff 3l^{2}=n^{2}$ .

$l\in \mathbb {N}$ לפי ההגדרה. אז גם $l\cdot l=l^{2}\in \mathbb {N}$ , נסמנו $p$ . כלומר קיים $p\in \mathbb {N}$ כך ש- $n^{2}=3p$ אז לפי הגדרה $3\mid n^{2}$ .
מכך ש- $3\mid n^{2}$ ומהטענה הנתונה נובע $3\mid n$ . אז לפי הגדרה קיים $q\in \mathbb {N}$ כך ש- $n=3q$ .

קיבלנו $m=3l$ וגם $n=3q$ כאשר $l,q\in \mathbb {N}$ . אזי מתקיים: ${\frac {m}{n}}={\frac {3l}{3q}}={\sqrt {3}}$ .

מכאן נובע שניתן לצמצם את ${\frac {m}{n}}$ ב- $3$ , וזאת בסתירה להנחה ש- ${\frac {m}{n}}$ שבר מצומצם.

הנחנו שקיימים $m,n\in \mathbb {N}$ כך ש- ${\frac {m}{n}}={\sqrt {3}}$ והגענו לסתירה, אזי לא קיימים $m,n$ כאלה ולכן לא ניתן להציג את ${\sqrt {3}}$ כמנת טבעיים. מש"ל.

שאלה 10 סעיף א'

יהי $a\in \mathbb {R}$ . נפצל למקרים:

$:a\geq 0$

הנחנו

a\geq 0

אז גם

a^{2}\geq 0

.

אז לפי הגדרה:

x\cdot x=a^{2}\iff x={\sqrt {a^{2}}}

נשים לב:

x\cdot x=a^{2}\iff x^{2}=a^{2}\iff x=\pm a

הנחנו

a\geq 0

וגם

x={\sqrt {a^{2}}}

אז גם

x\geq 0

ולכן

x=a

.

אז מ-

x={\sqrt {a^{2}}}

ומ-

x=a

ומטרנזיטיביות השוויון:

a={\sqrt {a^{2}}}

.

הנחנו

a\geq 0

אז מהגדרת ערך מוחלט:

|a|=a

.

אז מ-

a={\sqrt {a^{2}}}

ומ-

|a|=a

ומטרנזיטיביות השוויון:

|a|={\sqrt {a^{2}}}

.

$:a<0$

הנחנו

a<0

ולכן

a^{2}>0

.

לפי הגדרה:

x\cdot x=a^{2}\iff x={\sqrt {a^{2}}}

נשים לב:

x\cdot x=a^{2}\iff x^{2}=a^{2}\iff x=\pm a

הנחנו

a<0

וגם

x={\sqrt {a^{2}}}

אז

x\geq 0

ולכן בהכרח

x=-a

.

אז מ-

x={\sqrt {a^{2}}}

ומ-

x=-a

מטרנזיטיביות השוויון:

-a={\sqrt {a^{2}}}

.

הנחנו

a<0

אז מהגדרת ערך מוחלט

|a|=-a

.

אז מ-

|a|=-a

ומ-

-a={\sqrt {a^{2}}}

ומטרנזיטיביות השוויון:

|a|={\sqrt {a^{2}}}

.

הראנו שלכל $a\in \mathbb {R}$ מתקיים: $|a|={\sqrt {a^{2}}}$ . מש"ל.

שאלה 10 סעיף ב'

יהי $a\in \mathbb {R}$ . נפצל למקרים:

$0<a$ :

לפי הגדרת ערך מוחלט

|a|=a

.

מההנחה

0<a

נובע

-a<0

. אז לפי הגדרת ערך מוחלט:

|-a|=-(-a)

. לפיכך

|-a|=a

.

אז מטרנזיטיביות השוויון:

|-a|=|a|

.

$0=a$ :

אז לפי הגדרת ערך מוחלט

a=|a|

. מכאן ומההנחה נובע:

a=|a|=0

.

מההנחה

0=a

נעביר אגפים ונקבל

0=-a

אז לפי הגדרת ערך מוחלט

|-a|=-a

. מכאן ומההנחה נובע:

|-a|=-a=0

.

אז מטרנזיטיביות השוויון:

|-a|=|a|

.

$0>a$ :

לפי הגדרת ערך מוחלט

|a|=-a

.

מההנחה

0>a

נעביר אגפים ונקבל

0<-a

. אז לפי הגדרת ערך מוחלט

|-a|=-a

.

אז מטרנזיטיביות השוויון:

|-a|=|a|

.

הראנו שלכל

a\in \mathbb {R}

מתקיים:

|-a|=|a|

. מש"ל.

שאלה 10 סעיף ג'

יהיו $a,b\in \mathbb {R}$ . נפצל למקרים:

$a\geq 0$ וגם $b\geq 0$ :

לפי הגדרה $|a|=a$ וגם $|b|=b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=ab$ .
לפי הנחה $a\geq 0$ וגם $b\geq 0$ אז גם $ab\geq 0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .

$a>0$ וגם $b<0$ :

לפי הגדרה $|a|=a$ ו- $|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab$ .
לפי הנחה $a>0$ ו- $b<0$ אז $ab<0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=-ab$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .

$a=0$ וגם $b<0$ :

לפי הגדרה $|a|=a=0$ ו- $|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab=0$ .
לפי הנחה $a=0$ ו- $b<0$ אז $ab=0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab=0$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .

$a<0$ וגם $b>0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו- $|b|=b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab$ .
לפי הנחה $a<0$ וגם $b>0$ אז $ab<0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=-ab$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .

$a<0$ וגם $b=0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו- $|b|=b=0$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-ab=0$ .
לפי הנחה $a<0$ ו- $b=0$ אז $ab=0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab=0$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .

$a<0$ וגם $b<0$

לפי הגדרה $|a|=-a$ ו- $|b|=-b$ אז מאריתמטיקה $|a||b|=-(-ab)=ab$ .
לפי הנחה $a<0$ וגם $b<0$ אז $ab>0$ אז לפי הגדרת ערך מוחלט $|ab|=ab$ .
אז מטרנזיטיביות השוויון $|a||b|=|ab|$ .