משתמש:יחס הזהב/טיוטה100

שאלה

תהי $a_{n}$ סדרה המקיימת $a_{n}>0$ לכל $n\in \mathbb {N}$.

הוכיחו: אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n+1}$ מתכנס.

הוכחה

נניח $a_{n}$ חיובית ו-$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס. נגדיר $Sn$ סדרת הסכומים החלקיים של $a_{n}$.

מכך ש-$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס ומהגדרת הטור נובע שקיים $K\in \mathbb {R}$ כך ש-$\lim _{n\to \infty }S_{n}=K$.

נשים לב:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$

$S_{n+1}=a_{2}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}$

$S_{n+1}-S_{n}=a_{2}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)$

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}-a_{1}$

$\lim _{n\to \infty }S_{n+1}=\lim _{n\to \infty }S_{n}+a_{n+1}-a_{1}$

לפי תנאי הכרחי להתכנסות טורים $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ אז מיחידות הגבול $\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=0$ אז מאש"ג: $\lim _{n\to \infty }S_{n+1}=K+0-a_{1}=K-a_{1}$

מכך ש־$a_{1}\in \mathbb {R}$ אז $K-a_{1}\in \mathbb {R}$.

מהגדרת הטור קיבלנו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n+1}$ מתכנס וסכומו $K-a_{1}$. מש"ל.