משתמש:בר/טיוטת גבול חד צדדי

בחישוב, גבול חד צדדי הוא אחד משני הגבלות של פונקציה f עם המשתנה הממשי x כאשר x מתקרב לנקודה ספציפית משמאל או מימין.

ניתן לומר שכאשר x יורד בערכו כשהוא מתקרב לנקודה a (כלומר x מתקרב "מימין" או "מלמעלה") אז:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\$ או $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ או $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ או $\lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)$

ניתן לומר שכאשר x יורד בערכו כשהוא מתקרב לנקודה a (כלומר x מתקרב "משמאל" או "מלמטה"):

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\$ או $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ או $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ או $\lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)$

בתורת ההסתברות מקובל להשתמש בציון הקצר:

$f(x-)$ עבור גבול שמאל ו $f(x+)$ עבור המגבלה הנכונה.

שני הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים אם הגבול של f ( x ) ככל ש- x מתקרב ל- קיים ושווה. בחלק מהמקרים בהם הגבול

$\lim _{x\to a}f(x)\,$

לא קיים, שני הגבולות החד-צדדיים בכל זאת קיימים. כתוצאה מכך, הם הגבול כש-x בסביבת a נקרא "גבול דו-צדדי".

בחלק מהמקרים קיים אחד משני הגבולות החד-צדדיים והשני לא, ובמקרים מסוימים אף אחד מהם אינו קיים.

ניתן להגדיר באופן ריגוזורי את הגבול בצד ימין

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),$

ואת הגבול בצד שמאל:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),$

כאשר I מייצג איזשהו אינטרוול שנמצא בתחום של f.

דוגמאות

דוגמה אחת לפונקציה עם גבולות חד-צדדיים שונים היא הפונקציה הבאה:

$\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,$

ואילו

$\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.$

יחס להגדרה הטופולוגית של גבול

המגבלה החד צדדית לנקודה p תואמת את ההגדרה הכללית של הגבול, כאשר תחום הפונקציה מוגבל לצד אחד, על ידי כך שהוא מאפשר לאפשר כי תחום הפונקציה הוא תת-קבוצה של המרחב הטופולוגי, או על ידי התחשבות בדו-צדדי. תת-מרחב, כולל עמ ' . לחלופין, ניתן לשקול את התחום עם טופולוגיית מרווחים פתוחה למחצה .

משפט הבל

משפט ראוי לציון המטפל בגבולות חד צדדיים של סדרות כוח מסוימות בגבולות מרווחי ההתכנסות שלהם הוא משפט הבל .

ראה גם

• קו אמיתי האמיתי המורחב
• התמיינות למחצה
• הגבל עליון והגביל נחות

קישורים חיצוניים

• "One-sided limit" . PlanetMath .

[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]