משתמש:אמיתושתוש/ארגז חול גלואה

במתמטיקה, חבורות גלואה הן סוג מסוים של חבורות אוטומורפיזמים של שדות. ככאלה, הן נחקרו לראשונה על-ידי ארטין, קרונקר ודדקינד, אך היה זה אווריסט גלואה שחקר חבורות דומות והוכיח באמצעותן שלא ניתן לתת ביטוי אלגברי לשורשים של פולינום כללי ממעלה חמישית, שלא ניתן לחלק זווית כללית לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה, ומשפטים חשובים אחרים. על-כן גם חבורות אלה נקראות על שמו. הן נמצאות במוקד הגישה המודרנית לתורת גלואה.

הגדרה מדויקת

יהיו $F\subseteq E$ שדות (נהוג לומר ש-E הוא הרחבה של F, או ש E/F הרחבת שדות). חבורת גלואה ${\text{Gal}}(E/F)$ היא חבורה שאיבריה הם האוטומורפיזמים של E המקבעים את כל איברי F, והפעולה בה היא פעולת ההרכבה של פונקציות.

איברי החבורה הם, אם כן:

$\{\tau \in {\text{Aut}}(E)|\forall x\in F(\tau (x)=x)\}$.

דוגמאות

בדוגמאות להלן, F הוא שדה כלשהו; $\mathbb {R}$, $\mathbb {Q}$ ו-$\mathbb {C}$ הם שדה המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים, בהתאמה. השדה (F(a מייצג את שדה ההרחבה של F המתקבל על-ידי הוספה של איבר אחד, a.

• (Gal(F/F היא החבורה הטריוויאלית, המכילה את אוטומורפיזם הזהות בלבד (כי זהו האוטומורפיזם היחיד של F המשאיר את כל איברי F במקום).