מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
לאמר: לא קיימים מספרים טבעיים
כך שיתקיים שוויון
, כאשר
ו-
זרים.
נניח בשלילה כי קיימים
כאשר
ו-
זרים זה לזה, כך ש-
.
נעלה את הביטוי ב-
טבעי ונקבל
או
.
לעומת זאת, נתון לנו כי
, כלומר במשוואה
מחלק את
בשלמות
פעמים.
המשוואה
מתחלקת ב-
בשלמות בשני אגפיה (למת אוקלידס). כלומר
וגם
בשלמות.
אם ורק אם גם
בשלמות. מכאן נקבל שאכן
.
עתה קיבלנו שהמחלק המשותף המקסימל שלהם הוא
אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.
לכן לא קיים שוויון כזה. מ.ש.ל. ■