משפט שימור האינטגרל

בחשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי, משפט שימור האינטגרל (או בשמו המלא המשפט היסודי של תורת שימור האינטגרלים והדיפרנציאלים), הוא אחת משלוש האקסיומות לתורת השימור האינטגרלית.

הגדרה פורמלית

יהי מרחב אינטגרלי לא מסוים $\xi$ בעל בסיס אינטגרלי אורטונורמלי $S=[s_{n}]|_{1}^{n}$, ואינטגרל לא מסוים $I\in \xi$. נסמן את המקדמים של $I$ מעל הבסיס להיות $[i_{n}]|_{1}^{n}$, כלומר $I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S$. אזי לכל בסיס אורטורנורמלי ל$\xi$: $S'\neq S$,קיימים מקדמים $[i'_{n}]|_{1}^{n}$, כך ש$I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S=([i'_{n}]|_{1}^{n})^{*}S'$, וגם $\forall _{k\in {1,...,n}}\exists _{j\in {1,...,n}|j\neq k}:\lVert i_{k}\rVert =\lVert i'_{j}\rVert$ תחת הנורמה של המרחב $\xi$.

ביריעות חלקות

ביריעות חלקות, כמות סימני האינטגרל, ועוד כמות עיגולי המסלולים הסגורים, פחות כמות הדיפרנציאלים קבועה לכל הצגה שקולה של האינטגרל, ושווה לממד המרחב האינטגרלי.

נהוג לסמן זאת בצורה הבאה:

$|\int |+|O|-|d|=|\xi |=constant$

כאשר הקבוע הוא ממד המרחב האינטגרלי (לא הווקטורי), ה"עיגול" מסמן אם המסלול (במקרה של מרחב מממד 3 או פחות) הוא סגור או לא.

המרחב נקרא מרחב מסדר 0 או מרחב הומוגני כאשר $|\xi |=0$.

דוגמאות

משפט סטוקס

על פי סטוקס: בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית $M$, ותבנית דיפרנציאלית $\omega$ מעל $M$ מתקיים: $\int _{M}\,\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega \!\,$. האינטגרל הוא כללי ולפיכך לא מחושב, ולכן משפט שימור האינטגרל תקף. כיוון ש$M$ היא יריעה חלקה, מתקיים לכל הצגה שקולה:

$|\int |-|d|=constant$

ובמקרה זה:

$1-1=1-1=0$

בגלל שערך הקבוע הוא 0, אז האינטגרל במשפט סטוקס נקרא הומוגני, גם במקרה הפרטי שבו האינטגרל הוא על פונקציות מעל $\mathbb {R} ^{3}$.

משפט גאוס (משפט הדיברגנץ)

על פי גאוס: יהי $V$ תחום חלק סגור מעל $R^{3}$, ויהי ${\vec {F}}$ שדה וקטורי גזיר בסביבת $V$, אזי:

$\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

ניתן לראות כי בצד שמאל של המשוואה יש שלושה אינטגרלים, ודיפרנציאל אחד (הדיברגנץ לא נכלל), ולכן ממד המרחב הוא $2+2=4$.

בצד ימין יש שני אינטגרלים, דיפרנציאל אחד, וסימון יריעה סגורה אחת, ולכן ממד המרחב נשמר ושווה ל$1+2+1=4$.

ראו גם

• המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי