מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בפיזיקה , משפט העבודה-אנרגיה קובע כי העבודה שנעשית על ידי שקול הכוחות על גוף מסוים, כאשר הוא נע מנקודה אחת לאחרת, שווה בדיוק להפרש באנרגיה הקינטית של הגוף, בין סופה לתחילתה של התנועה המדוברת. באופן פורמלי,
W
Σ
F
=
Δ
E
k
{\displaystyle W_{\Sigma F}=\Delta {E_{k}}}
ההוכחה המוצגת כאן היא במסגרת המכניקה הניוטונית . נניח כי גוף נע מנקודה
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
C
{\displaystyle C}
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
t
a
{\displaystyle t_{a}}
a
{\displaystyle a}
t
b
{\displaystyle t_{b}}
b
{\displaystyle b}
W
=
∫
C
F
→
⋅
d
r
→
{\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}
על ידי שימוש בחוק השני של ניוטון ,
F
→
=
m
a
→
{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}
W
=
∫
C
m
a
→
⋅
d
r
→
=
m
∫
C
d
v
→
d
t
⋅
d
r
→
{\displaystyle W=\int _{C}m{\vec {a}}\cdot d{\vec {r}}=m\int _{C}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}}
באמצעות שימוש בקשר
d
r
→
=
v
→
d
t
{\displaystyle d{\vec {r}}={\vec {v}}dt}
t
{\displaystyle t}
W
=
m
∫
t
a
t
b
d
v
→
d
t
⋅
v
→
d
t
{\displaystyle W=m\int _{t_{a}}^{t_{b}}{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt}
משימוש בהחלפת משתנים נובע כי
W
=
m
∫
v
(
t
a
)
v
(
t
b
)
v
d
v
=
m
v
2
(
t
b
)
2
−
m
v
2
(
t
a
)
2
{\displaystyle W=m\int _{v(t_{a})}^{v(t_{b})}{v}d{v}={\frac {mv^{2}(t_{b})}{2}}-{\frac {mv^{2}(t_{a})}{2}}}
והואיל והגודל
m
v
2
2
{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}
אנרגיה הקינטית , הרי שניתן לכתוב
W
=
m
v
2
(
t
b
)
2
−
m
v
2
(
t
a
)
2
=
Δ
E
k
{\displaystyle W={\frac {mv^{2}(t_{b})}{2}}-{\frac {mv^{2}(t_{a})}{2}}=\Delta {E_{k}}}
ובכך המשפט הוכח.
