משפט וייטהד

בטופולוגיה, משפט וייטהד הוא טענה שלפיה מרחבים טופולוגיים שחבורות הומוטופיה שלהם איזומורפיות באופן יוניפורמי, הם שקולים הומוטופית. מדובר במשפט משמעותי שווייטהד הוכיח בשני מאמרים משנת 1949, המראה כי חבורות ההומוטופיה של מרחב (המכילות מידע טופולוגי-גאומטרי מצומצם יחסית על המרחב) יכולות לקבוע את סוג ההומוטופיה שלו במקרים המדוברים.

המקבילה ההומולוגית למשפט וייטהד היא משפט הורוויץ, הקובע טענה דומה עבור מרחבים מסוימים בעלי חבורות הומולוגיה איזומורפיות יוניפורמית.

ניסוח

יהיו $X,Y$ שני מרחבי CW קשירים מסילתית, ותהי $a\in X$. יהי $f:X\to Y$ הומומורפיזם של מרחבים טופולוגיים, כך שההעתקה המושרית $f_{*}:\pi _{n}(X,a)\to \pi _{n}(Y,f(a))$ היא איזומורפיזם של חבורות ההומוטופיה, לכל $n\in \mathbb {N}$. אזי, $f$ מהווה שקילות הומוטופית בין המרחבים $X,Y$.

דוגמאות נגדיות

התנאי במשפט, לפיו הפונקציה $f:X\to Y$ משרה את האיזומורפיזם בין כל חבורות ההומוטופיה, הוא הכרחי. כלומר, גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, המרחבים לא חייבים להיות שקולים הומוטופית.

דוגמה לכך הם המרחבים $X=S^{2}\times \mathbb {R} P^{3}$ ו-$Y=S^{3}\times \mathbb {R} P^{2}$: למרחבים אלו חבורה יסודית זהה (והיא $\mathbb {Z} _{2}$), ומרחב כיסוי אוניברסלי זהה, ולכן כלל חבורות ההומוטופיה שלהם זהות. עם זאת, הם אינם שקולים הומוטופית, שכן על פי משפט קנות' יש להם חבורות הומולוגיה שונות.

בנוסף, המשפט לא תקף למרחבים טופולוגיים כלליים (שאינם מרחבי CW) - קיימים מרחבים בעלי חבורות הומוטופיה טריווילאיות, אך שאינם שקולים הומוטופית לנקודה.

ראו גם

• משפט הורוויץ

לקריאה נוספת

• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213 - 245
• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453 - 496

קישורים חיצוניים

• משפט וייטהד, באתר MathWorld (באנגלית)