משפט גאוס

שדה וקטורי שכיוונו החוצה מפני משטח שצורתו כדורית

באנליזה וקטורית, משפט גאוס או משפט הדיברגנץ מקשר בין השטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור לדיברגנץ של השדה בתוך המשטח. המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס שגילה אותו בשנת 1813 (והוכיח אותו למקרים פרטיים), אך רק בשנת 1831 מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט במלואו, לכן לעיתים קוראים לו משפט גאוס-אוסטרוגרדסקי. למשפט יש שימושים חשובים בפיזיקה ובפרט באלקטרוסטטיקה. משפט סטוקס הוא הכללה של משפט גאוס למימד כללי.

ניסוח פורמלי

יהי $V$ תחום חלקי ל-$\mathbb {R} ^{3}$ סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין, ויהי $F$ שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת $V$, אזי מתקיים:

$\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=$${\scriptstyle _{S}}$$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

כאשר $S=\partial V$ הוא שפת התחום $V$, ו-$d\mathbf {S}$ הוא וקטור בעל גודל אלמנט שטח אינפיניטסימלי ובעל כיוון ניצב למשטח כלפי חוץ (לעיתים מסמנים ${\hat {n}}\ dS$, כאשר ${\hat {n}}$ הוא הנורמל הפונה החוצה מהמשטח $\partial V$), וכאשר $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ .

ראו גם

• חוק גאוס
• משפט סטוקס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט גאוס בוויקישיתוף

• זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית.
• משפט גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.