משפט דבורצקי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורה של מרחבי בנך, משפט דבורצקי הוא משפט מבנה חשוב אשר הוכח על ידי המתמטיקאי הישראלי אריה דבורצקי בתחילת שנות ה-60 של המאה ה-20. המשפט ענה על שאלה שנוסחה על ידי אלכסנדר גרותנדיק. הוכחה חדשה למשפט, שהתגלתה על ידי ויטלי מילמן בשנות ה-70 של המאה ה-20, הייתה אחת התגליות אשר הביאו לפיתוח התורה הלוקלית של מרחבי בנך.

באופן פשטני, המשפט אומר כי לגופים קמורים מממד גבוה יש חתכים שהם כמעט מעגליים. בצורה מדויקת יותר, המשפט מראה כי לכל מספר טבעי k, בכל מרחב בנך שממדו גדול מספיק, יש תת-מרחב מממד k שהנורמה עליו קרובה מאוד לכזו המושרית על ידי מכפלה פנימית. בכך המשפט מכניס לתורה של מרחבי בנך, שהנורמה המוגדרת עליהם יכולה להיות כללית ביותר, כלים מן התחום של מרחבי הילברט שבהם הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ויש לה מבנה גאומטרי הדוק.

ניסוח המשפט

לכל מספר טבעי $\,k\in \mathbb {N}$, ולכל $\,\varepsilon >0$, קיים $N\in \mathbb {N}$, כך שאם $(X,\|\cdot \|)$ מרחב בנך מממד גדול או שווה ל-$\ N$, אז קיים תת-מרחב $\,E\subseteq X$ מממד $\ k$ ומכפלה פנימית $\ Q$ על $\ E$, כך שהנורמה $|\cdot |={\sqrt {Q(\cdot )}}$ המושרית על ידי המכפלה הפנימית מקיימת $|x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|$ לכל $\,x\in E$.

לקריאה נוספת

• A. Dvoretzky, Some results on convex bodies and Banach spaces, 1961 Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960) pp. 123--160 Jerusalem Academic Press, Jerusalem; Pergamon, Oxford
• V.D. Milman, A new proof of A. Dvoretzky's theorem on cross-sections of convex bodies (Russian), Funkcional. Anal. i Prilozhen. 5 (1971), no. 4, 28--37
• T. Figiel, J. Lindenstrauss, J., V.D.Milman, The dimension of almost spherical sections of convex bodies, Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), no. 4, 575--578 .
• Y. Gordon, Some inequalities for Gaussian processes and applications, Israel J. Math. 50 (1985), no. 4, 265–289.
• Y. Gordon, Gaussian processes and almost spherical sections of convex bodies, Ann. Probab. 16 (1988), no. 1, 180--188