משטח ורונזה

בגאומטריה אלגברית, משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרוייטיבי ה-5-ממדי $\ \mathbb {P} ^{5}$. המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי $\ \mathbb {P} ^{2}$ ב- $\ \mathbb {P} ^{5}$. משטח זה קרוי על-שם ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב- $\ \mathbb {P} ^{4}$, באמצעות הטלה מנקודה גנרית של $\ \mathbb {P} ^{5}$. ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של $\ \mathbb {P} ^{4}$ ל- $\ \mathbb {P} ^{3}$, קרויה משטח שטיינר.

הגדרה

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה $\ s:\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}$, המוגדרת לפי העתקת ורונזה $\ s(x:y:z)=(x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy)$, כאשר $\ (x:y:z)$ הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות $\ \{(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}:x_{5})\,:\,x_{0}x_{1}=x_{5}^{2},\,x_{2}x_{5}=x_{3}x_{4},\,x_{4}x_{5}=x_{0}x_{3}\}$.

יריעות ורונזה

לכל n ו- d, אפשר להגדיר שיכון $\ \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}$, כאשר $\ m+1={n+d \choose d}$ הוא המקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה d ב- n משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי: $\phi (x_{0}:x_{1}:\dots :x_{n})=(M_{0}(x_{0},\dots ,x_{n}),M_{1}(x_{0},\dots ,x_{n}),\dots ,M_{m}(x_{0},\dots ,x_{n}))$ כאשר ה-$\,M_{i}$ הם אוסף כל המונומים מדרגה d ב-n משתנים. תמונת השיכון $\,\phi$ היא יריעת ורונזה. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור d=2 ו-n=2).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, $\ \nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}$, כאשר V הוא מרחב וקטורי מממד n.

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורונזה ויריעה ליניארית.

קישורים חיצוניים

• משטח ורונזה, באתר MathWorld (באנגלית)