משולש שרפינסקי

משולש שֶׁרְפִּינְסְקִי הוא פרקטל מפורסם הנקרא על שם המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי, שתיאר אותו ב-1915 ^[1].

מבנה זה הוא אחת הדוגמאות היסודיות לצורה המורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה (הצורה בנויה משלושה עותקים של עצמה המוקטנים בחצי). ישנן דרכים רבות ופשוטות ליצירת הפרקטל, שהפשוטה שביניהן היא על ידי סילוק חוזר של משולשים הולכים וקטנים ממשולש התחלתי. המשולש קשור למגוון שעשועים מתמטיים הכוללים את מגדלי האנוי ואת משולש פסקל.

בנייה

שיטת סילוק המשולשים

ניתן לבנות את משולש שרפינסקי ממשולש מישורי נתון, באופן הבא:

מתחילים ממשולש שחור מלא, מחלקים אותו ל-4 משולשים שאורך צלע כל אחד מהם הוא חצי מאורך צלע המשולש המרכזי. עתה חותכים החוצה את המשולש המרכזי מבין 4 המשולשים. בשלב הבא חוזרים על הפעולה עבור 3 המשולשים שנותרו (מחלקים כל אחד ל-4 רבעים וחותכים החוצה את המרכזי). כאשר חוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים מתקבל משולש שרפינסקי.

שיטת בניית משולשים

בשיטה זאת מתחילים בציור של המתאר של משולש בשלב הראשון, ובשלב השני מניחים משולש הפוך, מוקטן בחצי בתוך המשולש. בשלב הבא מניחים 3 משולשים הפוכים קטנים בתוך המשולשים הקטנים שנוצרו וכך הלאה.

שיטת מכונת הצילום

נבנה מכונת צילום היוצרת מהצורה שמוכנסת לתוכה תמונה הכוללת שלושה עותקים מוקטנים של הצורה המוכנסת, אשר מונחים אחד מלמעלה אחד מימין ואחד משמאל. כאשר מכניסים צורה כלשהי למכונה בשלב הראשון, ובכל שלב את הפלט של השלב הקודם מזינים חזרה לתוך המכונה, אזי לאחר אין סוף איטרציות מקבלים את משולש שרפינסקי.

שיטת משחק הכאוס

בוחרים שלוש נקודות כלשהן במישור, לא על קו אחד, שאותן נסמן A,B ו- C. עתה בוחרים נקודה אחרת כלשהי במישור לה נקרא נקודה 1. עתה בכל שלב במשחק יוצרים נקודה חדשה באופן הבא: בוחרים באקראי את אחת הנקודות A, B או C, והנקודה ה n+1 תסומן בחצי הדרך שבין הנקודה n והנקודה שנבחרה. כאשר חוזרים על המשחק הזה אינסוף פעמים מקבלים את משולש שרפינסקי.

משולש פסקל ואוטומטים תאיים

          1
        1   1
      1   2   1
    1   3   3   1
  1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1

משולש פסקל עד השורה הששית

כאשר צובעים בשחור את המספרים האי-זוגיים במשולש פסקל ואת המספרים הזוגיים צובעים בלבן, אזי מתקבל משולש שרפינסקי. באופן דומה ניתן לראות שמשולש פסקל נבנה על ידי אוטומט תאי באופן הבא: מתחילים משורת משבצות לבנה מלבד המשבצת האמצעית שצבועה שחור. עתה בכל תור יוצרים שורה חדשה מתחת כאשר משבצת בשורה החדשה תהיה צבועה שחור אם המשבצת שמעליה או המשבצת שמעליה מצד שמאל שחורות, והיא תהיה לבנה אם שתי המשבצות הללו לבנות או שתיהן שחורות.

אוטומט דומה המייצר פרקטל דומה למשולש שרפינסקי מבוסס על הכלל הבא: מבין המשבצת שמעליה, והמשבצות שמעליה מצד ימין ושמאל, סופרים כמה מהם שחורות, אם מספר זה הוא אי-זוגי אזי המשבצת החדשה תהיה צבועה שחור, אחרת היא תהיה צבועה לבן.

מגדלי האנוי

במשחק הפופולרי מגדלי האנוי אם מסמנים כל מצב חוקי במשחק בנקודה, ומקשרים מצבים שביניהם ניתן לעבור מאחד לשני בקו, אזי מקבלים גרף של המשחק, שצורתו היא משולש שרפינסקי.

ממד האוסדורף

שיטות הבנייה השונות של משולש שרפינסקי משמשות להסבר פשוט של הבעייתיות בייחוס ממדים שלמים לצורות פרקטליות. שיטת הבנייה של החסרת שטחים מבוססת על שטחים דו-ממדיים, ולכן ניתן היה לצפות שמשולש שרפינסקי יהיה דו-ממדי. לעומת זאת, בניית משולשים מבוססת על קווים: צורות חד-ממדיות, ומשחק הכאוס מבוסס על נקודות: צורות אפס-ממדיות, ולכן ניתן היה לצפות שהצורה תהיה מממדים 1 או 0 בהתאמה. טענות אלו מראות את הצורך בבחינה מחודשת של המושג מימד, כפי שנעשתה על ידי מנדלברוט והאוסדורף.

למשולש שרפינסקי יש ממד האוסדורף $\ {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585$ , ובפרט, השטח שלו הוא 0.

פרקטלים דומים

הרעיונות הבסיסיים שעומדים מאחורי משולש שרפינסקי משמשים גם לבניית מגוון רחב של פרקטלים דומים כגון:

פירמידת שרפינסקי: גרסה תלת־ממדית של המשולש, שבה - במקום החסרת שטחים משולשים - נעשה שימוש בהחסרת טטרהדרים מתוך טטרהדר התחלתי.
שטיח שרפינסקי: מבוסס על החסרת ריבועים במקום משולשים.
ספוג מנגר (שהומצא על ידי קרל מנגר): הגרסה התלת־ממדית של שטיח שרפינסקי (החסרת קוביות).
פתית השלג של קוך.