משוואת הגל האלקטרומגנטי

משוואת הגל האלקטרומגנטי היא משוואת הגלים של קרינה אלקטרומגנטית. זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני אשר מתארת את ההתפשטות של גל אלקטרומגנטי. המשוואה נובעת ממשוואות מקסוול.

משוואות הפוטנציאלים

מקובל לכתוב את המשוואה במונחי הפוטנציאל החשמלי הסקלרי $\ \phi$ והפוטנציאל הווקטורי $\mathbf {A}$, כאשר משתמשים בכיול לורנץ - $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$. בעזרת שימוש במשוואות מקסוול, בהגדרת הפוטנציאלים ובתנאי הכיול ניתן להראות כי מתקיים:

$\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-4\pi \rho$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J}$

כאן

• $\ \rho$ היא צפיפות המטען,
• $\mathbf {J}$ צפיפות הזרם,
• $\ c$ מהירות האור בתווך.

כלומר כל אחד מרכיבי הפוטנציאל מקיים משוואת גלים לא הומוגנית עם "מקור" ($4\pi \rho ,4\pi \mathbf {J}$). בריק או באזור נטול מטענים וזרמים מתקבלת משוואת הגלים ההומוגנית הרגילה. ארבע משוואות הגלים האלו מצומדות דרך תנאי הכיול.

כיול נפוץ אחר למשוואת הגלים הוא כיול קולון.

משוואות השדות

ניתן גם לכתוב את המשוואות במונחי השדה החשמלי $\mathbf {E}$ והשדה המגנטי $\mathbf {B}$. בריק מתקיים:

$\left(\nabla ^{2}-{1 \over {c}^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}\right)\mathbf {E} \ \ =\ \ 0$

$\left(\nabla ^{2}-{1 \over {c}^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}\right)\mathbf {B} \ \ =\ \ 0$

החיסרון בכתיבה זו הוא שקשה לראות את הצימוד בין השדות, כלומר כל שדה מתנהג כגל, אך לא ניתן להבין מכאן ששני הגלים נעים יחד.

פיתוח

משוואת הגלים באלקטרומגנטיות נובעת ישירות מתוך משוואות מקסוול. לצורך הפיתוח נניח שמדובר בתווך נייטרלי, כלומר חסר מטענים $\ \rho =0$ וחסר זרמים $\ {\vec {J}}=0$. כך נקבל את משוואות מקסוול בריק בצורה הבאה:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}=0$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

מהפעלת רוטור על חוק פאראדיי נקבל:

$\ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})={\vec {\nabla }}\times \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

נציב בסוגריים את חוק אמפר המתוקן ללא זרמים, כפי שהנחנו:

$\ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

מצד שני, לפי הזהויות של אנליזה וקטורית:

$\ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {E}}=0-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}$

כאשר הרכיב הראשון מתאפס בגלל חוק גאוס ללא מטענים.

בהשוואת שני הצדדים קיבלנו את משוואת הגלים:

$\ {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

כאשר $\ {\frac {1}{c^{2}}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}$ עבור מהירות הגל $c$, שהיא למעשה מהירות האור.

תהליך זהה ניתן לעשות עבור השדה המגנטי ולקבל משוואת גלים זהה:

$\ {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {B}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.