מרטינגל (תורת ההסתברות)

מרטינגל בתורת ההסתברות הוא מודל המתאר "משחק הוגן", כלומר תהליך המתרחש במשך זמן בדיד או רציף והמאופיין בכך שבכל שלב בו המידע לגבי ההיסטוריה אינו מאפשר לנבא את תוחלת ערכו בעתיד. כלומר אם כעת המשחק נמצא בזמן $n$ אז התוחלת העתידית שלו בזמן $n+1$ שווה לערכו הנוכחי.

דוגמה למרטינגל היא למשל הימור על סדרת הטלות של מטבע הוגן, כאשר נניח כי "עץ" מהווה זכייה בנקודה 1+, ו"פאלי" מהווה הפסד של נקודה 1-. $M_{n}$ הוא משתנה מקרי המייצג את מספר הפעמים שיצא "עץ" עד השלב ה-$n$ פחות מספר הפעמים שיצא "פאלי" עד השלב ה-$n$ ולפיכך הוא נותן את הניקוד הכולל של המהמר לאחר כל הטלה (עד אליה וכולל אותה). מכיוון שההימור הוגן, תוחלת הניקוד הכולל של המהמר בשלב ה-$n+1$ שווה לניקוד הכולל שלו בשלב ה-$n$.

מרטינגל מהווה הכללה לשרשרת מרקוב שבה התפלגות התוצאות בהווה תלויה כולה רק בנקודת הזמן הקודמת ובפרט התוחלת בהווה תלויה רק בנקודת הזמן הקודמת. בתהליך מרטינגלי התוחלת בהווה אומנם תלויה רק בנקודת הזמן הקודמת אך התפלגות התוצאות בהווה יכולה להיות תלויה בכל ההיסטוריה של התהליך.

הגדרה

מרטינגל הוא תהליך סטוכסטי המורכב מסדרת משתנים מקריים $\ \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, כך שמתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$:

1. $\mathbf {E} (\vert M_{n}\vert )<\infty$
2. $\,E(M_{n+1}\mid M_{1}=m_{1},M_{2}=m_{2}\ldots ,M_{n}=m_{n})=m_{n}$.

מרטינגל יחסי

מרטינגל יחסית לפילטרציה $\ \{F_{n}\}$, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של הסיגמא-אלגברה של המרחב, הוא תהליך סטוכסטי $\ \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שמתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$:

1. $\mathbf {E} (\vert M_{n}\vert )<\infty$
2. $\,E(M_{n+1}\mid F_{1},...,F_{n})=M_{n}$.

ההגדרה הסטנדרטית למרטינגל מתקבלת מההגדרה של מרטינגל יחסי על ידי בחירת הפילטרציה הטבעית, $F_{n}=\sigma \left(M_{1},...,M_{n}\right)$.

סופר-מרטינגל ותת-מרטינגל

סופר-מרטינגל הוא תהליך סטוכסטי $\ \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, כך שמתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$:

1. $\mathbf {E} (\vert M_{n}\vert )<\infty$
2. $\,E(M_{n+1}\mid M_{1}=m_{1},M_{2}=m_{2}\ldots ,M_{n}=m_{n})\leq m_{n}$.

תת-מרטינגל מוגדר בדומה, כאשר כיוון אי-השוויון מתהפך. $\ \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ הוא תת-מרטינגל אם ורק אם $\ \{-M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ הוא סופר-מרטינגל.

מרטינגל כשיטת הימורים

ערך מורחב – מרטינגל (שיטת הימורים)

מקור המילה מרטינגל הוא בשיטת הימורים כושלת שהייתה נפוצה בצרפת במאה ה-18. השיטה מבטיחה לכאורה זכייה בטוחה, בדרך הבאה:

1. המר על סכום כסף מסוים.
2. במקרה של הפסד, מכפילים את הסכום ומהמרים שוב. תהליך זה חוזר על עצמו עד לזכייה. הזכייה בסוף התהליך מבטיחה למהמר רווח בגובה סכום ההימור הראשוני.

אולם השיטה אינה משפרת את התוחלת של ההימור מאחר שההימורים אינם תלויים אחד בשני, ובטח שאינה הופכת תוחלת שלילית לחיובית. בכל תקציב סופי מביאה השיטה לתוחלת הפסד, וברצף הפסדים ההפסד גדול במיוחד (פשיטת רגל).

כדי להמחיש את הנושא, ערך האתר "Wizard of Odds", הדמיה ממוחשבת למשחק שבו משתתפים שני שחקנים, המהמרים במשחק הקוביות Craps בו 49.29 אחוזי הצלחה, כאשר שניהם מתחילים עם 255 דולר בכיסם, באופן הבא:

• השחקן הראשון יהמר דולר בכל פעם, 100 פעמים.
• השחקן השני ישתמש בשיטת מרטינגל. הוא ישתמש בדולר כסכום ההימור ההתחלתי, ויכפיל אותו בכל הפסד עד לניצחון, שבעקבותיו יחזור לסכום ההימור הראשוני, או עד שלא יוכל לכסות את סכום ההימור הבא, ויפסיק לשחק, או עד הניצחון הראשון אחרי הפעם ה-99.

הדמיה של מיליון משחקים כאלה הראתה שבסופו של דבר, השחקן השני, הנוקט בשיטת מרטינגל, יפסיד בממוצע פי 4 מהשחקן הראשון, הנוקט בשיטת הימור סטנדרטית. עבודה זו מראה את הנחיתות של שיטת מרטינגל להימור על פני שיטת הימור סטנדרטית, במשחקי מזל המורכבים מסיבובים שחוזרים על עצמם מספר רב של פעמים.

קישורים חיצוניים

• מרטינגל, באתר MathWorld (באנגלית)