מרחב טופולוגי נתרי

במתמטיקה, מרחב טופולוגי נתרי, שנקרא כך על שם אמי נתר, הוא מרחב טופולוגי המקיים את תנאי השרשראות היורדות עבור קבוצות סגורות. באופן שקול, מרחב טופולוגי הוא נתרי אם ורק אם כל קבוצה פתוחה בו קומפקטית בטופולוגיה המושרית. זה גם שקול לזה שכל תת-קבוצה קומפקטית טופולוגיה המושרית.

הגדרה

מרחב טופולוגי נקרא נתרי אם הוא מקיים את תנאי השרשראות היורדות עבור קבוצות סגורות: כל סדרה

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots$

של תת-קבוצות סגורות מתייצבת, כלומר קיים אינקס m כך ש $Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots$.

תכונות

• מרחב טופולוגי הוא נתרי אם ורק אם הוא קומפקטי תורשתית (כלומר כל תת-קבוצה שלו היא קומפקטית) וזה אם ורק אם כל תת-קבוצה פתוחה היא קומפקטית.
• כל תת-מרחב של מרחב נתרי הוא נתרי.
• התמונה של מרחב נטרי תחת כל העתקה רציפה היא נתרית.
• איחוד סופי של מרחבים נתריים הוא נתרי.
• כל מרחב האוסדורף נתרי הוא סופי, עם טופולוגיה דיסקרטית.

הוכחה: כל תת-קבוצה של מרחב כזה היא קומפקטית ולכן סגורה. לכן הטופולוגיה היא דיסקרטית. כל מרחב קומפקטי דיסקרטי הוא סופי. זה נובע מהתבוננות בכיסוי על ידי תת-קבוצות בנות איבר יחיד.

• לכל מרחב נתרי מספר סופי של רכיבים אי פריקים. איחוד הרכיבים הוא המרחב כולו.

בגאומטריה אלגברית

דוגמאות רבות של מרחבים נתריים באות מירועות אלגבריות בטופולוגיית זריצקי. עבור יריעה אפינית, קבוצות סגורות בטופולוגיה זו הם קבוצות אפסים של אידיאלים, ולכן תנאי השרשראות היורדות של קבוצות סגורות שקול לתנאי השרשראות העולות של אידיאלים, שהוא שקול לנתריות של חוג הפולינומים של היריעה.

באופן כללי יותר, לכל חוג קומוטטיבי נתרי R, הסכמה Spec R היא נתרית. ההיפיך לא מתקיים משום שקיימים חוגים קומוטטיביים לא נתריים עם אידיאל ראשוני בודד.

דוגמאות

• כל מרחב טופולוגי עם מספר סופי של נקודות הוא נתרי.
• המרחב האפיני $\mathbb {A} _{k}^{n}$ בטופולוגיית זריצקי הוא מרחב נתרי.