מעשה חושב (רלב"ג)

מעשה חושב

חלק מתוך הספר "מעשה חושב"
מידע כללי
מאת	רלב"ג
שפת המקור	תקופת הביניים של העברית
נושא	אריתמטיקה, קומבינטוריקה
הוצאה
תאריך הוצאה	1321

מעשה חושב הוא ספר מתמטיקה העוסק בעיקר באריתמטיקה ובקומבינטוריקה, שכתב הפילוסוף היהודי רבי לוי בן גרשום (רלב"ג), המתוארך לשנת 1321.

זהו ספרו השני של הרלב"ג, והראשון בנושאי מתמטיקה. שמו של הספר לקוח מספר שמות פרק כ"ו, פסוק א': "ואת-המשכן תעשה...מעשה חושב תעשה אותם".

סקירה כללית

הספר מחולק לשני חלקים מרכזיים. החלק הראשון כולל אוסף של 68 טענות והוכחות בנושאים כמו אריתמטיקה, אלגברה, קומבינטוריקה. חלקו השני, מכיל אלגוריתמי חישוב בנושאים שונים, ומחולק לשישה פרקים:

1. חיבור וחיסור.
2. כפל.
3. סכומים.
4. קומבינטוריקה.
5. חלוקה, שורשים ריבועיים ושלישיים.
6. יחס ופרופורציה.

בסופו של הפרק העוסק ב"יחס ופרופורציה", מצויות בעיות לא פתורות רבות, המהוות כחמישית מכלל הספר.

בהקדמה לספרו מציין הרלב"ג כי ספרים 7–9 בחיבורו של אוקלידס "יסודות" הכרחיים כקריאה מקדימה.

הרלב"ג

ערך מורחב – רלב"ג

הרלב"ג

רבי לוי בן גרשום (לעיתים נכתב 'בן גרשון', בראשי התיבות: רלב"ג או באנגלית: Gersonides) היה פילוסוף, אסטרונום, מתמטיקאי, מדען, מהנדס, רב ופרשן מקרא שנולד בחבל הפרובנס בדרום צרפת ב-1288 ושם חי עד למותו בשנת 1344.

בעבודתו, מיצב עצמו הרלב"ג כאחד המתמטיקאים והפילוסופים הגדולים של אותה התקופה. הוא כתב מעל לתריסר ספרים העוסקים בפרשנות המקרא, ספר פילוסופיה בשם "מלחמות השם", ספר בנושא לוגיקה, ארבעה כתבים מתמטיים (אחד מהם הוא "מעשה חושב") ומגוון רחב של חיבורים נוספים.

מטה יעקב

עבודתו של הרלב"ג הייתה מגוונת ומעמיקה, וכללה בין היתר:

• השימוש המוקדם ביותר שתועד באינדוקציה מתמטית.
• עבודה חלוצית ופתרון בעיות בקומבינטוריקה.
• אלגורתימים למציאת שורשים של משוואות ריבועיות ומשולשיות, ופתרונות למשוואות ליניאריות.
• פרשנות לספר יסודות של אוקלידס.
• עבודה נרחבת בטריגונומטריה.
• הוכחה שהזוגות היחידים של מספרים הרמוניים (שהם מספרים מהצורה $2^{n}\cdot 3^{m}$, עבור $n,m$ מספרים שלמים כך שמתקיים $2^{n_{1}}\cdot 3^{m_{1}}-2^{n_{2}}\cdot 3^{m_{2}}=1$) הם רק הזוגות הבאים: $(1,2),(2,3),(3,4),(8,9)$.
• תצפיות אסטרונומיות חשובות על תנועת הירח, כדור הארץ, השמש ותאוריות נוספות שהועלו לפניי אלו של קופרניקוס וקפלר.

  

  קמרה אובסקורה

  המצאת מטה יעקב, מכשיר למדידת זוויות בין גורמי שמיים אשר שימש מלחים לניווט בים.
• הקמרה אובסקורה; אפשרות לצפייה בליקוי חמה בעזרת המכשיר, כך שלא ייגרם נזק לעיניים. הרלב"ג פיתח מכשיר שנקרא "הלשכה האפלה", תיבה סגורה מכל צד, שאליה חודר אור דרך נקב קטנטן שבאחת מדפנותיה. המביט דרך הנקב אל תוך התיבה רואה על הדופן שמול הנקב תמונה אמיתית והפוכה של הגוף הנמצא מחוץ לתיבה מול הדופן שבו נמצא הנקב, ובעזרתה ניתן היה להשוות את קוטר הירח לקוטר השמש ולמדוד את גודל ההתכסות בעת ליקוי החמה.

התוכן

הקדמה

בראש הספר, כותב הרלב"ג את ההקדמה הבאה:

יסודות - אאוקליד

נאום לוי בן גרשום בעבור שההשגה השלמה בעשית המלאכות הוא שנדע במלאכה מלאכה עם ידיעת אופן המעשה למה נעשה אותה בזה האופן והיה החלק המעשיי ממלאכת המספר אחת מהמלאכות המעשיות הוא מבואר שראוי שנחקור בה בסבותיה ועוד סבה אחרת תחייב לחקור בזאת המלאכה בנתינת הסיבות וזה שהוא מבואר שזאת המלאכה מקפת במינים רבים מאוד וכל מין ומין ממנה מקיף בחמרים רבים מתחלפים התחלפות רב יביא לחשב שאינם תחת מין אחד ובהיות העניין כן הוא מבואר שלא תשלם ההשגה בזאת המלאכה בזולת ידיעת הסבות כי אם בקושי גדול ואולם עם ידיעת הסבות אפשר שתשלם בקלות והיה זה כן לפי שמי שידע הסבות ידע בידיעה אחת תכונת המעשה במינים הרבים אשר תקיף במלאכותיהם סבה אחת בעינה. ומי שיסביל הסבות יצטרך בידיעה אחת בעינה לידיעות רבות לפי השתנות החמרים.

תמצית הדברים בעברית בת ימינו: כדי לפתור בעיות כראוי לא די בידיעת הנוסחה בלבד אלא יש להבין גם מה שעומד מאחוריה. בנוסף, מי שאינו מבין היטב את תוכנה ומהותה של הנוסחה יזדקק לשיטה נפרדת לכל בעיה והבנה טובה מסייעת לפתור בעיות שעשויות להיראות כבעיות שונות ואינן אלא אותה בעיה עצמה.

והוא ממשיך כך:

וכאשר היה זה כן ראינו בזה הספור להודיע דרכי המספרים וסבותיהם לפי קצורנו וחלקנו זה הספר לפי זאת החקירה לשני מאמרים.

המאמר הראשון יקיף על השרשים אשר נתן למה שנרצה לבארו מזאת המלאכה. המאמר השני יקיף על דרכי המלאכה במין מין ממיני המספר ונתינת הסבות. ולפי שהיה זה הספר מקיף על המעשה והעיון קראנוהו מעשה חושב ואולם מדרגות הלמוד הנעשה בזה הספר הנה ראוי שיקדם העיון למעין בו במאמר השביעי והשמיני והתשיעי מאקלידיס כי לא היה רצוננו להשיב בזה הספר דבריו אבל נניחם במדרגת השרשים אחר שהתבארו שם במופת.

כלומר, החלק הראשון מציע 68 תאוריות והוכחות. והחלק השני מציע אלגוריתמים שמתאימים לבעיות שונות וכן הסברים על השימוש בהם. השם 'מעשה חושב' נבחר כי הוא כולל את החלק המעשי, הפרקטי, הן את חלק ה'מחשבתי', ה'תאוריה'.

בסיום דבריו אומר רלב"ג שחיבורו בנוי על כך שהמעיין בו מכיר את הספרים 7–9 של אוקלידס (יסודות) וכי אין הוא חוזר עליהם כי המשפטים כבר הוכחו בידי אוקלידס.

חלק א'

חלק זה מתחיל במספר הוכחות "פשוטות" על תכונותיהם של פעולות החיבור והכפל, בעיקר דיסטריבטיביות ואסוציאטיביות.

דוגמה לטענה והוכחה - טענה מספר 5

הטענה בניסוח המקור, כפי שכתב הרלב"ג בספרו:

ה) כאשר חולק מספר מה לחצאים והוסף עליו מספר מה הנה שטח התוספת במספר כלו (עם התוספת) עם מרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתופסת מקובצים.

וזוהי ההוכחה:

ויחולק מספר אב לחצאים ויהיו חלקיו אג גב והוסף עליו מספר בד ואומר ששטח אד בדב עם מרובע גב שווה למרובע גד המופת ששטח אד בדב שווה לשטח גד בדב ולשטח אג בדב שהוא שווה לשטח בג בדב וכאשר חובר עמו מרובע גב היה המקובץ שווה לשטח גד בבד ולשטח בג בבד ולמרובע גב וגם כן הנה שטח גד בגד שווה לשטח גד בבד ולשטח גד בגב אבל שטח גד בגב שווה לשטח גב בבד ולמרובע בג אם כן מרובע גד שווה לשטח גד בדב ולשטח גב בבד ולמרובע בג וזה שווה לפי מה שבארנו לשטח אד בדב ולמרובע גב ו' מ' ש'.

הטענה בניסוח מודרני: יהי מספר כלשהו $N$. נחלק אותו לשני חצאים שווים $N_{1}=N_{2}={{N} \over {2}}$. נוסיף ל-$N$ מספר נוסף $M$, כלומר כעת נסתכל גם על $X=M+N$. אזי, $M\cdot X+N_{1}^{2}=(N_{1}+M)^{2}$ .

הוכחה: יהי מספר כלשהו $N$. נחלק אותו לשני חצאים שווים $N_{1}=N_{2}={{N} \over {2}}$. נוסיף ל-$N$ מספר נוסף $M$. כעת מתקיים כי $X\cdot M=(N_{2}+M)\cdot M+N_{1}\cdot M$ ומכאן $X\cdot M=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M$ (שכן $N_{1}=N_{2}\rightarrow N_{1}+M=N_{2}+M$).

מכאן, $X\cdot M+N_{2}^{2}=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M+N_{2}^{2}$ וכן, $(N_{2}+M)\cdot (N_{2}+M)=(N_{2}+M)\cdot M+(N_{2}+M)\cdot N_{2}$.

אבל, $(N_{2}+M)\cdot N_{2}=N_{2}\cdot M+N_{2}^{2}$, ולכן $(N_{2}+M)^{2}=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M+N_{2}^{2}$ ולפי מה שראינו זה שווה ל-$X\cdot M+N_{1}^{2}$ ומכאן מתקבל הדרוש.

בטענה זאת, ובאופן כללי במהלך הספר, הרלב"ג לא משתמש במשתנים בצורה שאותה אנחנו מכירים היום. לעיתים הוא משתמש באותיות לתיאור משתנים, בדומה לטענה הנ"ל בה הוא משתמש במשתנים אג, גב, אד, בד, גד, אד. במקומות אחרים בספר הוא כותב את האותיות, אך עם נקודה מעליהן, ושם כוונתו היא לערכן המספרי בגימטריה. לדוגמה: נסמן אב=16, ולכן חצאיו אג=גב=8. נוסיף עליו את בד=5, ולכן נקבל אד=21 ו-גד=13. לכן בסה"כ נקבל, גד^2 = גב^2 + בד*אד כלומר: $13^{2}=8^{2}+5\cdot 21$.

בכלים אלגבריים מודרניים, פתיחת סוגריים פשוטה הייתה נותנת את התוצאה הנדרשת בנקל. באותה העת, הסימונים מתמטיים של ימינו, משוואות ותכונות נוספות לא היו בשימוש כפי שהם היום. לכן, ההוכחה נראית אמנם מסובכת ומסורבלת, אך היא מהווה דוגמה ליצירתיות של הרלב"ג בפתרון בעיות על ידי מיצוי כלל הכלים אשר היו קיימים באותה התקופה לרבות המצאת כלים חדשים, דבר החוזר על עצמו בספר זה רבות.

חלק ב'

החלק השני של ספרו מכיל אלגוריתמי חישוב בנושאים שונים, ומחולק לשישה חלקים, כך שבסוף החלק האחרון משאיר הרלב"ג מספר רב של בעיות. בין הנושאים המובאים בחלק הזה הופיע האלגוריתם של הרלב"ג לחישוב שורש ריבועי של מספר ריבועי.

אלגוריתם לחישוב שורש ריבועי

שיטת מיצוי למציאת שורש ריבועי

בחלק החמישי של חלק ב' של ספרו נותן הרלב"ג דוגמה לאלגוריתם חישוב של שורש ריבועי (עבור ריבועים שלמים).

השיטה של הרלב"ג מובנת יותר בהשוואה לשיטה של הבבלים לחישוב שורשים ריבועיים. שיטת המיצוי הבבלית למציאת קירוב לשורש ריבוע של $N$: נסמן ב-$a_{i}$ את הקירוב לשורש בשלב ה-$i$, ונסמן $a_{1}=1$ (ניתן להתחיל גם מכל מספר אחר). אז נקבל כי $a_{n+1}={(a_{n}+{N \over a_{n}}) \over 2}$ מהווה קירוב של השורש הריבועי של $N$. לדוגמה: עבור $N=2$ נקבל $a_{1}=1,a_{2}=1.5,a_{3}=1.416666$.

ניסוח המקור לשיטה של הרלב"ג מתוך "מעשה חושב":

דרך הוצאת השרש מהמספר המרובע המקיף בשלמים ראוי שנכתוב המספר שבקשנו לדעת את מרובעו בטור אחד כפי מעלותיו אחר כך חקור על המעלה האחרונה שבטור אם היא מהנפרדות ואם לא הייתה מהנפרדות הורידה אל שלפניה כדי שיהיה המספר האחרון שבמעלה נפרד. אחר כך ראה המרובע היותר קרוב אל זה המספר ואמנם המעט ויסוד המרובע ההוא תכתוב בטור השרש תחת הטור הקודם במעלה האמצעית בין המעלה הראשונה והמעלה האחרונה והוא אשר נקראה הטור היוצא ומרובע השרש היוצא תגרע מהטור העליון והנשאר תחלוק על כפל השרש היוצא אך השמר שיישאר לך אחר החלוקה כמו מרובע השרש היוצא לך מן החלוקה והעולה בחלוק והוא השרש היוצא תכתבהו בטור השרש במעלה אשר מרחקה לאחור מהמעלה שחלקת כמרחק המעלה שחלקת עליה מהראשונה ותעורך זה השרש היוצא לך מן החלוקה תערוך על כפל השרש המוצא ועל עצמו והעולה תגרע מהטור העליו וכן תעשה עד שלא יישאר בטור העליון דבר... דמיון זה אם רצית להוציא שרש א'ח'ב'ו'ד'ו'ב'ח' ולפי שהמעלה האחרונה היא שמינית תורידה אל שלפניה והנה פ"ב והנה פ"א הוא המרובע היותר קרוב לזה שהמספר ושרשו ט' תכתוב ט' בטור השרש ברביעית שהיא אמצעית בין השביעית והראשונית והנה מרובע ט' מהרביעית הוא פ"א מהשביעית גרענום מפ"ב ונישאר אחד בשביעית ולא נוכל לחלק על כפל ט' שהוא השרש המוצא הורדנוהו אל שלפניו עם ו' שהיו בה והנה י"ו ולא נוכל לחלק על כפל ט' הורדנו הי"ו אל שלפניה והנה קס"ד חלקנום על כפל השרש המוצא שהוא י"ח ועלה ט' והוא השרש היוצא ונכתבם בטור השרש ברביעית לאחור במדרגת קס"ד ערכנום על כפל השרש המוצא ועל עצמם והעולה גרענו מהטור העליון ונישאר בו א'ח'א'ח'א' חלקנום על כפל השרש המוצא והוא על צד הקודם י"ח אחדים וב' עשיריות ועלה אחד בראשונה בקרוב ונכתבהו בראשונה בטור השרש ערכנוהו על כפל השרש המוצא ועל עצמו וגרענו העולה מהטור העליון ולא נשאר בטור העליון דבר והנה שרש זה המספר הדרוש הוא ט' אלפים וצ"א והוא המבוקש...

שורש ריבועי של X

הרלב"ג מציג את האלגוריתם למציאת שורש ריבועי של מספר ריבועי, ולאחר השיטה הוא נותן דוגמה למציאת השורש הריבועי של $82646281$ ומראה איך לחשבו, ואכן מקבל את התשובה והיא $9091$, שכן ${\sqrt {82646281}}=9091$.

הרעיון בשיטה זו של הרלב"ג הוא לבנות את השורש של מספר $N$ ריבועי, ספרה אחר ספרה, תוך שהוא מוודא שהריבוע של כל שלב בהערכת השורש, עדיין קטן מהמספר המקורי.

הסבר אלגוריתמי בשפה מודרנית לאלגוריתם של הרלב"ג לחישוב השורש הריבועי של מספר $N$:

1. נחלק את כל ספרות המספר מימין לשמאל לזוגות, ונספור את מספר הזוגות. במצב הזה יישאר זוג ספרות בצד שמאל או מספר בודד. נסמן ב-$P$ את מספר הזוגות, בלי הזוג האחרון/הספרה האחרונה, ונסמן ב-$M$ את המספר (בעל ספרה אחת או שתיים) שנשאר בצד השמאלי. לדוגמה, עבור $N=82646281$ נקבל $P=3$ ו-$M=82$.
2. נמצא את המספר הריבועי הגדול ביותר שקטן מ-$M$, ונסתכל על השורש הריבועי שלו ולאחריו $P$ אפסים - זה יהיה הקירוב הראשון לשורש של $N$, ונסמנו ב-$A$. בדוגמה מסעיף 1, נקבל כי המספר הריבועי הכי גדול שקטן מ-$M$ הוא $81$ כך ש:${\sqrt {81}}=9$ , ולכן: $A=9000$.
3. נסמן את השארית $R=N-A^{2}$. בדוגמה שלנו, $R=82646281-9000^{2}=1646281$.
4. כעת, נחלק את $R$ ב-$2A$, ונסמן את התוצאה ב-$B$ כך שאנחנו מתעלמים מכל הספרות פרט לספרה המובילה (השמאלית ביותר). כעת נרצה לבדוק כי $2AB+B^{2}$ לא גדול יותר מ-$R$. אם כן נקטין את הספרה המובילה ב-1 ונבדוק שוב. בדוגמה שלנו ${R \over {2A}}={1646281 \over {2\cdot 9000}}\approx 91.46...$ ולכן נסמן $B=90$. מתקיים כי $2AB+B^{2}=2\cdot 9000\cdot 90+90^{2}=1628100$ וזה אכן קטן מ-$R$ - כדרוש.
5. נסמן ${\tilde {R}}=R-(2AB+B^{2})$ ו-${\tilde {A}}=A+B$. בדוגמה שלנו: ${\tilde {R}}=1646281-(2\cdot 9000\cdot 90^{2})=18181$ ו- ${\tilde {A}}=9000+90=9090$.
6. כעת, אם קיבלנו כי ${\tilde {R}}=0$ סיימנו, ונקבל כי השורש הריבועי של $N$ הוא ${\tilde {A}}$, כלומר ${\sqrt {N}}={\tilde {A}}$. אחרת, נסמן $R={\tilde {R}}$ ו-$A={\tilde {A}}$ ונחזור איתם לשלב מספר 4.

דוגמה מלאה לחישוב השורש הריבועי של $N=16384$ בעזרת האלגוריתם הנ"ל:

1. מתקיים כי $P=2$ ו-$M=1$.
2. מחישוב נקבל כי $A=100$.
3. $R=16384-10000=6384$.
4. $B={6384 \over {200}}\approx 30$, אבל $2AB+B^{2}=2\cdot 100\cdot 30+30^{2}=6900$ גדול מ-$6384$. לכן נסמן $B=20$.
5. ${\tilde {R}}=6384-(2\cdot 100\cdot 20+20^{2})=1984$, ו-${\tilde {A}}=100+20=120$.
6. קיבלנו כי ${\tilde {R}}\neq 0$ לכן נחזור לשלב 4 עם $R={\tilde {R}},A={\tilde {A}}$.
7. $B={1984 \over {240}}\approx 8$ ולכן $B=8$.
8. ${\tilde {R}}=1984-(2\cdot 120\cdot 8+8^{2})=0$ ובנוסף ${\tilde {A}}=120+8$.
9. קיבלנו כי ${\tilde {R}}=0$ ולכן נקבל כי ${\sqrt {N}}={\sqrt {16384}}={\tilde {A}}=128$, כנדרש.

בחלק זה ישנם מספר אלגוריתמים דומים לאלגוריתם שהוצג, המשמשים לביצוע חישובים מסוגים שונים. אחד מהם הוא אלגוריתם לחישוב שורש שלישי של מספרים, באופן יחסית דומה לאלגוריתם לחישוב שורש ריבועי, עם הסתמכות על הזהות: $(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$ שאותה הוכיח בחלק הראשון של הספר בטענה מספר 62: "ס"ב) כאשר היו שני מספרים מונחים הנה המעוקב ההוה ממקובצם מוסיף על המעוקב ההוה מהמספר הראשון מהם כמו שלשה דמיוני השטח ההוה משטח המספר הראשון המונח בשני על מקובצם וכמו מעוקב המספר השני".

במקום הזהות $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ שאותה הוכיח גם בחלק הראשון של הספר בטענה מספר 6:

ו) כאשר נוסיף על מספר מונח מספר מה הנה מרובע שני המספרים מחוברים שוה למרובע המספרים ההם ולכפל שטח זה בזה

קיים שוני בין עבודתו המתמטית של הרלב"ג כפי שהיא מתבטאת בחלק ב' לבין עבודתם של קודמיו. השוני מוצג בשליטה שלו באלגברה, כפי שמתבטא בזהויות שבהן השתמש כדי למצוא שורשים לעומת הגישה הגאומטרית שהייתה יותר מקובלת בזמנו.

בעיות מתמטיות

בסוף חלק ב', מציג הרלב"ג כמות גדולה של בעיות. להלן דוגמה לבעיה שמביאה לידי ביטוי את שליטתו של הרלב"ג באלגברה:

הבעיה בנוסח מודרני: בהינתן מספרים $A,B,C$ צריך למצוא $X,Y,Z$ כך ש-$X+{(Y+Z) \over {A}}={Y+{{X+Z} \over {B}}}=Z+{(X+Y) \over {C}}$.

הפתרון של הרלב"ג: $X=C+(B-A)+(A-2)\cdot BC,Y=X+2(B-A)\cdot (C-1),Z=Y+2(A-1)\cdot (C-B)$.

לבעיה זו קיימים אינסוף פתרונות. הרלב"ג מבין זאת, ומסביר ששלושת הפתרונות הנ"ל הם הפתרונות ה"בסיסיים". ההוכחה שלו לבעיה זו ארוכה, ומתבססת על טענות 44–52 מחלק א' של הספר, שהן (בלשון מודרנית):

• 44. $ab+a=(b+1)a,ab+b=(a+1)b$.
• 45. $a<b<c\Longrightarrow c(b-a)+a(c-b)=b(c-a)$.
• 46. $2<a<b\Longrightarrow 2(a-2)(b-1)+b+(a-2)+(b-a)=2(a-1)(b-1)$.
• 47. $a<b\Longrightarrow ba+(b-a)=(a-1)(b-1)+b+(b-1)$.
• 48. $2<a<b\Longrightarrow 2(b-1)(a-2)+b+(a-2)+(b-a)=(a-1)b+(a-2)(b-1)+(b-a)$.
• 49. $a<b<c,d=a-2\Longrightarrow 2(c-1)(b-a)+cd+(c-1)d+c+(b-a)+(c-b)=2(b-1)(c-1)$.
• 50. $a<b<c,d=a-2\Longrightarrow 2(c-1)(b-a)+(cb)d+(c-b)(a-1)+c+(b-a)=(b-1)(c-1)a$.
• 51. $a<b<c\Longrightarrow (c-1)(b-a)+c+(b-a)=c(b-a+1)$.
• 52. $a<b<c\Longrightarrow (c-1)(b-a)+(a-1)(c-b)+c+(b-a)=b(c-a+1)$.

מתמטיקה פורצת דרך

אינדוקציה מתמטית - אם ידוע כי צעד A גורר את צעד A+1, כל שנותר הוא להראות שהצעד הראשון מתקיים וכל צעד יפעיל את הבא בתור.

בחלקו הראשון של "מעשה חושב" מוכיח הרלב"ג 68 טענות שיעזרו לו בהמשך הדרך להראות את האלגוריתמים שהוא עוסק בהם בחלקו השני של הספר.

חלק מהטענות שהוא מציג שם מכילות זהויות לסכום של מספרים טבעיים עוקבים, סכום מספרים ריבועיים ומשולשים. בחלק מהמקרים, הוא מראה שימוש אלגנטי ב"אינדוקציה מתמטית". זו ההופעה הראשונה בהיסטוריה של אינדוקציה מתמטית (שתופיע אצל פסקל רק במאה ה-17).

בנוסף, מראה הרלב"ג אוסף של הוכחות לזהויות קומבינטוריות בסיסיות.

אינדוקציה

ערך מורחב – אינדוקציה מתמטית

חישוב סכומים בעזרת אינדוקציה

אינדוקציה מתמטית היא כלי המאפשר להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. השיטה עובדת בשני שלבים: השלב הראשון הנקרא "בסיס האינדוקציה" הוא להראות כי התכונה מתקיימת לאיבר הראשון - A(1). השלב השני הנקרא "הנחת האינדוקציה" הוא להראות כי בהינתן כי התכונה התקיימה באיבר הקודם A(N), היא תתקיים עבור האיבר הבא A(N+1).

בספרו מעשה חושב, הוכיח הרלב"ג טענות תוך שימוש באינדוקציה. דוגמה לכך ניתן לראות בטענות 41 ו-42 בחלק א' שבהן הרלב"ג משתמש באינדוקציה בטענה 42 בעזרת טענה 41. ניתן דוגמה לטענות ולהוכחה של טענה 42:

טענה 41 בניסוח המקור: "מ"א) המרובע ההוה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הוא שוה למעוקב המספר המונח ולמרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר המונח".

טענה 41 בניסוח של ימינו: $(1+2+3+...+n)^{2}=n^{3}+(1+2+3+...+(n-1))^{2}$.

טענה 42 בניסוח המקור: "מ"ב) המרובע ההוה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הנה הוא שוה אל המעוקבים ההוים מהנמשכים מן האחד עד המספר המונח".

טענה 42 בניסוח של ימינו: $(1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$.

הוכחת טענה 42 בניסוח המקור: "ויהיה הנקבץ נקבץ אבגדה ואומר שמרובע ההוה מנקבץ אבגדה שוה למעוקבים ההוים ממספרי אבגדה המופת שמרובע נקבץ אבגדה שווה למעוקב ה ולמרובע נקבץ אבגד אבל מרובע נקבץ אבגד שווה למעוקב ד ולמרובע נקבץ אבג והנה מרובע נקבץ אבג שווה למעוקב ג ולמרובע נקבץ אב והנה מרובע נקבץ אב שווה למעוקב ב ולמרובע א והנה מרובע א שווה למעוקב א א"כ מרובע נקבץ אבגדה שווה למעוקבים ההוים ממספרי אבגדה והוא מ"ש.

הרלב"ג משתמש בכל פעם בטענה 41 על כל חלק (הוא משתמש במספרים א-ה כלומר 1–5 אבל טוען כי ניתן להכליל זאת בעזרת הטיעון האינדוקטיבי):

בשלב הראשון: $(1+2+3+4+5)^{2}=5^{3}+(1+2+3+4)^{2}$.

בשלב השני: $(1+2+3+4)^{2}=4^{3}+(1+2+3)^{2}$.

בשלב השלישי: $(1+2+3)^{2}=3^{3}+(1+2)^{2}$.

בשלב הרביעי: $(1+2)^{2}=2^{3}+(1)^{2}$.

לבסוף הוא מאחד את כל הנ"ל ומקבל: $(1+2+3+4+5)^{2}=5^{3}+4^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}$, כדרוש.

השימוש החוזר שוב שוב בטענה שקשורה לכמות המספרים הקודמת שהייתה, היא עדות מובהקת לשימוש באינדוקציה, שכן מה שעשה הרלב"ג הוא את הדבר הבא:

בסיס האינדקוציה: עבור $n=1$ נקבל $1=(1)^{2}=1^{3}+0^{2}=1$ ואכן הבסיס מתקיים.

הנחת האינדוקציה: נניח כי $(1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$ ונראה כי $(1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}$. מטענה 41 נקבל כי $(1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=(n+1)^{3}+(1+2+3+...+n)^{2}$ ומההנחה נקבל כי החלק הימני של אגף ימין הוא בדיוק $(1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$, ולכן בסה"כ $(1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}$.

האינדוקציה מתקיימת ולכן הטענה נכונה.

זוהי לא הטענה היחידה שבה ניתן לראות שימוש באינדוקציה או בשיטות המזכירות אותה. גם בטענות בתחילת חלק א' שבו הרלב"ג מוכיח אסוציאטיביות של פעולת הכפל, הוא מתחיל בהוכחה של אסוציאטיביות של 3 מספרים, עובר להוכחה של 4 מספרים, משם ל-5 מספרים ומציין כי ניתן להמשיך כל פעם להשתמש בתכונה הקודמת כדי להוכיח את התכונה לכמות מספרים גדולה יותר.

בהוכחת משפט 10 הוא כותב את הדבר הבא: "... ויהיו חלקיו זט טל לח הנה מספר אלו החלקים הוא כמספר אחדי א… כל אחד מחלקי זט טל לח ימנהו ד כשיעור שטח ג בה וזה מבואר ממה שקדם …" ובכך מראה כיצד הטענה הקודמת מוכיחה את הבאה, וכך הלאה.

קומבינטוריקה

ערך מורחב – קומבינטוריקה

משולש פסקל

קומבינטוריקה היא ענף במתמטיקה העוסק בעיקר בספירה, הן לשם השגת תוצאות, הן לעזרה בחישובים.

בסוף חלק א' מתאר רלב"ג מספר טענות והוכחות של זהויות קומבינטוריות. ההוכחות ואופן ניסוחן ארוכות ומעט מסורבלות, אבל הוא משתמש בכלים מתמטיים פורצי דרך.

לדוגמה, טענה 63: "ס"ג) כאשר היו מחברות מספר מונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד מספר מה הנה מחברות המספר הנמשך אחר המונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד הם כמו שטח מספר המחברות הקודמות במספר הנמשך אחר המספר המונח".

בטענה זו טוען הרלב"ג כי $P_{n+1}=(n+1)P_{n}$ כאשר $P_{n}$ מתאר את מספר הדרכים השונות לסדר $n$ אלמנטים (ידוע כי $P_{n}=n!$).

הרלב"ג מוכיח את טענות 64–68 בסוף חלק א' (מובאות בשפה מודרנית):

• 64. $P_{n,2}=n(n-1)$, כאשר $P_{n,m}$ מתאר את מספר הדרכים לסדר $m$ אלמנטים מתוך $n$ אלמנטים.
• 65. $P_{n,m+1}=P_{n,m}(n-m)$.
• 66. $P_{n,m}=C_{n,m}P_{m}$, כאשר $C_{n,m}$ הוא מספר הדרכים לבחור $m$ אלמנטים מתוך $n$ בלי חשיבות לסדר.
• 67. $C_{n,m}={P_{n,m} \over {P_{m}}}$.
• 68. $C_{n,n-m}=C_{n,m}$. זוהי טענה שניתן לראות בעזרת משולש פסקל.

שיטה זו של קומבינטוריקה תועדה באירופה רק כ-200 שנים לאחר פרסום הספר.

גורלו של החיבור ותפוצתו

'מעשה חושב' הוא חיבור מתמטי מעניין וחדשני. יש בו הוכחות רבות לטענות, עושה שימוש באינדוקציה מתמטית כ-300 שנה לפני השימוש המתועד הראשון באירופה וכן כולל אלגוריתמים רבים ובעיות שונות. למרות זאת לא זכה חיבור זה לפרסום ולחשיפה הראויים לו מסיבות מגוונות:

• החיבור, כמו כל יתר חיבוריו, נכתב בעברית. ככל הנראה לא שלט רלב"ג בלטינית, ערבית או יוונית, שפות שהיו בשימוש בזמנו בעניינים מדעיים. על כך מעידה ספרייתו שכללה ספרים בעברית בלבד וספרי מדע הכלליים בהם השתמש היו מתורגמים לעברית. לפיכך לא זכו חיבוריו לפרסום וחלק ניכר מהם הגיעו לידיעת המלומדים שנים רבות לאחר מותו. רק מספר מצומצם מכתביו המתמטיים תורגם ללטינית.
• עבודתו הקדימה את זמנה. בעיקר בתחומים שאנו מכנים מתמטיקה בדידה וקומבינטוריקה שלא היו מוכרים בתקופתו.
• בקרב היהודים היה הרלב"ג דמות שנויה במחלוקת, זאת בשל הפילוסופיה הרציונליסטית בה דגל, פילוסופיה שהקדימה את הרנסאנס בכ-200 שנה. עבודתו לא זכתה לפופולריות ורבים מקוראי העברית נמנעו ממנה. כך לדוגמה, ספרו הפילוסופי "מלחמות השם" כונה בידי מתנגדיו בלעג "מלחמות על השם". ולכן יהודים רבים התרחקו מכלל עבודותיו, גם אלו המדעיות.

שלא כחיבורו 'מעשה חושב', הגורל של המחקרים האסטרונומיים שלו היה טוב יותר ואלה תורגמו ללטינית וזכו להערכה רבה. מכתש בירח נקרא על שמו של רלב"ג מכתש רבי לוי .

קישורים חיצוניים

• רלב"ג, מעשה חושב, באתר היברובוקס