ממד (אלגברה)

באלגברה מופשטת, ממד הוא ערך מספרי המתאים לאובייקט מופשט, בדרך כלל חוג, שדה או מודול, המתאר עד כמה האובייקט מורכב. הדוגמה הבסיסית היא מושג הממד באלגברה ליניארית, אבל ישנם ממדים רבים אחרים, המודדים תכונות מסובכות יותר. להלן כמה דוגמאות.

ממד קרול

ממד קרול הקלאסי של חוג שווה לאורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים בחוג, והוא עשוי להיות סופי או אינסופי. ממד קרול, המוגדר באמצעות שרשראות של תת-מודולים בחוג כמודול מעל עצמו, מודד עד כמה חוג נותרי קרוב להיות ארטיני (חוגים בעלי ממד קרול 0 הם ארטיניים). ממד קרול שווה לממד קרול הקלאסי לחוגי PI (ובפרט לכל חוג קומוטטיבי).

הממד הגלובלי

ממדים של מודולים

למודול M מגדירים ממד פרויקטיבי כאורך הרזולוציה הפרויקטיבית הקצרה ביותר (הממד קטן או שווה ל-n אם יש שרשרת מדויקת מהצורה $\ 0\rightarrow P_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow P_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$, כאשר כל ה-$\ P_{i}$ פרויקטיביים). באותו אופן מוגדר הממד האינג'קטיבי לפי הרזולוציה האינג'קטיבית הקצרה ביותר (בכיוון ההפוך, כמובן), והממד השטוח לפי הרזולוציה השטוחה הקצרה ביותר (ראו מודול שטוח).

הממד הגלובלי של חוג

הממד הגלובלי של חוג הוא הממד הפרויקטיבי הגדול ביותר של מודולים מעליו; זהו גם הממד האינג'קטיבי הגדול ביותר של מודולים מעל החוג. הממד הגלובלי הוא אפס אם ורק אם החוג ארטיני פשוט למחצה. הממד הגלובלי שווה ל-1 אם החוג תורשתי. הממד השטוח הגדול ביותר של מודולים מעל החוג נקרא הממד הגלובלי החלש, והוא קטן או שווה לממד הגלובלי, עם שוויון עבור חוגים נותריים.

ממד קוהומולוגי

אם G חבורה, הממד הפרויקטיבי של חוג החבורה $\ \mathbb {Z} [G]$ נקרא גם הממד הקוהומולוגי של החבורה G. זהו גם המספר n הקטן ביותר שעבורו כל חבורות הקוהומולוגיה $\ H^{i}(G,M)$, עבור $\,i>n$, מתאפסות.

הממד הקוהומולוגי של שדה מוגדר כממד הקוהומולוגי של חבורת גלואה האבסולוטית שלו. לדוגמה, לשדות $k(t_{1},\cdots ,t_{n})$ ו-$\ k(\!(t_{1})\!)\cdots (\!(t_{n})\!)$ (כאשר k סגור אלגברית) יש ממד קוהומולוגי n.

ממד גלפנד קירילוב

ממד גלפנד קירילוב של אלגברה מודד את קצב הגידול שלה ביחס לקבוצת יוצרים. הוא שווה ל-0 אם האלגברה בעלת ממד סופי (במובן הרגיל), ויכול להיות גם 1, כל מספר ממשי גדול או שווה ל-2, או אינסוף.

הממד האחיד

הממד האחיד (uniform dimension) של מודול M הוא מספר המחוברים הישרים האחידים המרכיבים תת-מודול עיקרי (תת-מודול הוא עיקרי אם הוא נחתך עם כל תת-מודול שאינו אפס; מודול שכל תת-המודולים שלו עיקריים נקרא אחיד), או אינסוף אם אין סכום ישר כזה. מסמנים את הממד הזה בסימון $\ \operatorname {udim} M$; נקרא גם ממד גולדי. מודול האפס הוא היחיד שיש לו ממד 0; ממד 1 יש רק למודולים אחידים. הממד של סכום ישר שווה לסכום הממדים. הממד של תת-מודול תמיד קטן או שווה לזה של המודול; הממדים שווים אם ורק אם תת-המודול הוא עיקרי. מכאן שבמודול בעל ממד n אי-אפשר ליצור סכום ישר של יותר מ-n תת-מודולים. בפרט, הממד האחיד של מרחב וקטורי מעל שדה הוא הממד הרגיל.