שמות מספרים

למתן שמות למספרים משמשות שיטות אחדות, המאפשרות באמצעות אבני יסוד מעטות יחסית, לתת שמות למספרים רבים, החל ממספרים מעוטי־ספרות המצויים בשימוש בחיי היום־יום, וכלה במספרים גדולים יותר, כמו מיליון ומיליארד, שגם בהם נעשה שימוש בהקשרים שונים. יש גם שברים במבנה העשרוני לדוגמה עשרות אלפיות.

אף שניתנו שמות למספרים גדולים מטריליון, לא נהוג להשתמש בשמות אלה, וכאשר עולה צורך לדון במספרים גדולים יותר, הדבר נעשה בכתיב מדעי, כלומר כחזקה של 10.

אבני יסוד

בעברית יש שם בשימוש נפוץ למספרים השלמים בין אפס ל-עשר ולשתי חזקות נוספות של עשר: מאה (100) ו-אלף (1,000). במשלב גבוה, קיים שם למספר 12 ("תריסר"^[1], הנובע משם המספר בארמית – תרי עשר. כאשר 'תרי' בארמית הוא שתיים), ולמספר 10,000: ("רבבה". כך ברוב ספרי התנ"ך. בספר עזרא^[2] הרבבה נקראת "ריבוא". ובספר דבורה המספר 40,000 מוצג כפי שהוא מוכר כיום). משמות בסיסיים אלה אפשר להרכיב טווח רחב של מספרים. המספרים שבין 10 ל־19 נוצרים משם ספרת היחידות שלהם בתוספת הסיומת "עשר" (אחת עשרה, שתים עשרה, שלוש עשרה וכן הלאה). הכפולות הטהורות של עשר נוצרות מצורת הרבים של ספרת היחידות שלהם (שלושים, ארבעים חמישים וכן הלאה. החריג היחיד הוא 20 שנקרא בצורת הרבים של עשר – עשרים) הכפולות של מאה, אלף ולעיתים רבבה נוצרות ממנייה פשוטה שלהם ("שלוש מאות", "ארבע מאות אלף" או "ארבעים רבבות", לרבות צורת הזוגי "מאתיים" ו"אלפיים"). כל יתר המספרים נוצרים ממנייה של כל האיברים המרכיבים אותם, לדוגמה, שלושת־אלפים שש־מאות ושבע־עשרה שווה לשלושה אלפים, ועוד שש מאות ועוד עשר ועוד שבע; בבסיס עשר, מספר זה נכתב כ־3,617. עבור מספרים הגדולים מ־999,999 מקובל להיעזר במילים לועזיות דוגמת 'מיליון', 'מיליארד' וכדומה.

בספר במדבר נוצר בשיטה זו שם למספר גדול יחסית: ”אֵלֶּה פְּקוּדֵי בְנֵי יִשְׂרָאֵל לְבֵית אֲבֹתָם כָּל פְּקוּדֵי הַמַּחֲנֹת לְצִבְאֹתָם שֵׁשׁ מֵאוֹת אֶלֶף וּשְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת וַחֲמִשִּׁים” (ספר במדבר, פרק ב', פסוק ל"ב). המספר שש מאות אלף קרוי גם "שישים ריבוא".

שיטה דומה, להרכבת שמות המספרים ממספר מצומצם של אבני יסוד, מתקיימת גם בשפות אחרות, עם ניואנסים שונים. באנגלית, למשל, יש שם פרטי גם למספרים 11 (eleven) ו־12 (twelve). בצרפתית, בדומה לעברית ולאנגלית, שמות חלק מהעשרות (30, 40, 50, 60) נגזרים משמות המספרים המקבילים הקטנים מעשר. ההמשך מתפתח אחרת: למספר 70 שני שמות: septante, הנגזר מ־7, ו־soixante-dix, שפירושו "שישים ועשר"; גם למספר 80 שני שמות: huitante, הנגזר מ־8, ו־quatre-vingt, שפירושו "ארבע פעמים עשרים".

שם המספר

שם המספר הוא תת־קבוצה של שמות עצם, הכוללת את המילים בשפה שמציינות מספר.

ישנם כמה סוגים עיקריים של שמות מספר:

מספר מונה (נקרא גם מספר יסודי)

שמות המשמשים לציון כמות של אובייקטים. המספר המונה יבוא לפני שם העצם אליו הוא מתייחס (חוץ מהמספר 1 שיבוא אחרי שם העצם). נתאים את מינו של שם המספר למינו של שם העצם שאליו הוא נלווה. דוגמה: ארבע אימהות, שלושה אבות, אמא אחת ואבא אחד.

המספר המונה מ־1 עד 10
	נקבה	נקבה	זכר	זכר
	נפרד	נסמך	נפרד	נסמך
1	אַחַת	אַחַת	אֶחָד	אַחַד
2	שְְׁתַּיִם	שְׁתֵּי	שְׁנַיִם	שְׁנֵי
3	שָׁלֹש	שְׁלֹש	שְׁלֹשָה	שְׁלֹשֶת
4	אַרְבַּע	אַרְבַּע	אַרְבָּעָה	אַרְבַּעַת
5	חָמֵשׁ	חֲמֵשׁ	חֲמִשָּׁה	חֲמֵשֶׁת
6	שֵׁשׁ	שֵׁשׁ	שִׁשָּׁה	שֵׁשֶׁת
7	שֶׁבַע	שֶׁבַע	שִׁבְעָה	שִׁבְעַת
8	שְׁמוֹנֶה	שְׁמוֹנֶה	שְׁמוֹנָה	שְׁמוֹנַת
9	תֵּשַׁע	תֵּשַׁע	תִּשְׁעָה	תִּשְׁעַת
10	עֶשֶׂר	עֶשֶׂר	עֲשָׂרָה	עֲשֶׂרֶת

בניגוד לנטיית העברית לסמן מורפולוגית את צורות הנקבה (ילד–ילדה), בשם המספר המצב הפוך: דווקא צורות הזכר של המספר המונה (מ־3 עד 19) מסומנות מורפולוגית על ידי האות ה"א בסופן, ואילו השמות בנקבה אינם מסומנים. כך, נאמר בזכר: מעשה בחמישה בלונים; אבל בנקבה: מפיקי הסדרה צילמו חמש עונות.

דוברי עברית מודרנית מרבים לטעות בשימוש בשם המספר, תוך העדפה ברורה לשימוש גורף בצורות הנקבה הבלתי מסומנות מורפולוגית והפחות מסומננות (לדוגמה: שלוש כיסאות, במקום שלושה). בתגובה לכך, נוצרה בשפה תופעה של תיקון יתר לכיוון ההפוך: דוברים המנסים להישמע תקינים, ישתמשו בטעות בשם המספר בזכר לצד שמות בנקבה (לדוגמה: שישה דלתות, במקום שש).

ישנם מספר כללים בשם המספר כאשר הוא מספר מונה:

מ־2 ומעלה, יבוא שם העצם ברבים: "שלושה שקלים", כשמעל עשר – ניתן להשתמש גם בצורת רבים וגם ביחיד ('אחד עשר שקל', או 'אחד עשר שקלים').
אחרי המילה "פי" יבוא שם המספר בזכר, למשל: "פי שלושה".
מ־3 עד 10, בצורת הסמיכות הה"א משתנה לתי"ו, כששם העצם ממין זכר: "שְמוֹנַת השחקנים", "שְלֹשֶת הדובים".

כאשר שם העצם ממין נקבה אין תי"ו בשם המספר: "שְׁלוֹש הערים הגדולות", "שֶׁבַע השמלות". במספרים מ־20 ומעלה אין להשתמש בצורת הסמיכות, אלא בצורת הנפרד: "עֶשְׂרִים ואַרְבָּעָה ספרי התנ"ך" ולא "עֶשְׂרִים ואַרְבַּעַת ספרי התנ"ך".

המספר "מֵאָה" ממין נקבה. לכן, יש לומר "שְמוֹנֶה מֵאוֹת שקלים" ולא "שְמוֹנָה מאות שקלים".
המספר "אֶלֶף" ממין זכר. לכן, כל מספר לפני אֶלֶף יבוא בלשון זכר, גם אם שם העצם הנלווה הוא ממין נקבה: "חֲמִשָּׁה עָשָׂר אֶלֶף חיילות".
במספרים 3–10 אלף, כותבים בצורה הזאת: שלושת אלפים, ארבעת אלפים, עשרת אלפים (אלף ברבים: 'אלפים'). ממספר 11 אלף ומעלה כותבים: אחד עשר אלף, עשרים אלף... ('אלף' ביחיד)
ציון תאריכים ייעשה תמיד במספר יסודי (מונה) ממין זכר. "תִּשְׁעָה באב", "אֶחָד באפריל".
כאשר מונים, או מציינים מספר טלפון, מספר תעודת זהות, מספר בית, מספר עמוד בספר וכו' משתמשים תמיד במספר סתמי כלומר מספרים בצורת נקבה.

מספרים אלה הם מספרים סתמיים, והצורה הבסיסית שלהם כאשר סופרים היא בנקבה: "אחת, שתיים, שלוש, ארבע"... לכן יש לומר "אני גרה בבית מספר אַחַת". (ניתן להוסיף את המילה "מספר" לפני שם העצם).

מספר סודר (נקרא גם מספר סידורי)

שמות המשמשים לציון מיקומו של אובייקט ביחס לאובייקטים אחרים. המספר הסודר יבוא לאחר שם העצם אליו הוא מתייחס ויש להתאימו למינו של שם העצם דוגמה: פרק ראשון, פרק שני, קבוצה ראשונה וקבוצה שנייה.

ישנם כללים אחדים גם לגבי מספר סודר:

כאשר משתמשים במספר סודר, מיידעים גם את שם העצם שלפניו וגם את המספר הסודר. למשל: לוּאִי הָאַרְבָּעָה עָשָׂר (שם פרטי מיודע), הַמֵּאָה הָעֶשְׂרִים וְאַחַת.
כאשר משתמשים במספר סודר מ־11 ומעלה, חוזרים להשתמש במספר היסודי ביידוע, ומתאימים את מין המספר למינו של שם העצם.

לדוגמה: "יום הולדתי הַחֲמִשָּׁה עָשָׂר". יום = זכר, שם העצם מיודע = הולדתי, שם המספר בזכר ומיודע = החמישה עשר.

מספר חלקי

מספר חלקי (שבר) יציין את החלק מתוך השלם. חֵצִי או חֲצִי^[3], שְלִיש, רֶבַע = זכר. בסמיכות: חֲצִי התפוח, בנפרד: חֵצִי תַּפּוּחַ. חֲמִישִׁית, שִׁישִׁית, שְׁבִיעית, שְׁמִינִית, תְּשִׁיעִית, עֲשִׂירִית = נקבה.

גם בהתייחס למספר חלקי, ישנם כללים אחדים:

מספרים חלקיים, שהמונה שלהם עד 10 יותאמו למינו של השבר ולפי צורת הרבים שלו: "למדנו כבר שְׁנֵי שְְׁלִישִׁים מהחומר".
כאשר המכנה מעל 2 וקטן מ־5, יבואו המונה והמכנה בזכר כגון רבע, שני רבעים, שלושה רבעים, שני שלישים וכו'.
כאשר המכנה מעל 4, יבוא המונה והמכנה בנקבה כמו חמישית, שלוש חמישיות.
כאשר המכנה מעל 10, יבואו המונה והמכנה בנקבה כמו במספר הסתמי. למשל: "שְתֵּים עֶשְׂרֵה חלקי שֵׁשׁ עֶשְׂרֵה".
במספר מעורב אשר מורכב ממספר שלם וחלקי יחדיו, ההגדרה תבוא לפני המספר החלקי או אחריו^[4]; לדוגמה: 3.5 חדרים – שלושה חדרים וחצי או שלושה וחצי חדרים.

שמות של מספרים גדולים

כדי לתאר מספרים גדולים יותר בעברית, מכפילים אלף או ריבוא במספר דומה. כבר בתורה מופיע ”וַיְבָרְכוּ אֶת-רִבְקָה, וַיֹּאמְרוּ לָהּ: אֲחֹתֵנוּ, אַתְּ הֲיִי לְאַלְפֵי רְבָבָה”^[5]. ביטויים כגון זה שכיחים בלשון חז"ל, בדרך כלל בדרך הגזמה. כך למשל מופיע בפיוט 'נשמת כל חי', הנאמר בברכה הסוגרת את פסוקי דזמרא של שבת: ”אלו פינו מלא שירה כים, ולשוננו רנה כהמון גליו... אין אנחנו מספיקים להודות [...] על אחת מאלף אלפי אלפים ורבי רבבות פעמים הטובות שעשית עם אבותינו ועמנו”^[6]. הביטוי "ריבוא רבבות" שכיח בקבלה, וגם בספרות העברית של המאה ה־19 (שלום עליכם כותב על גיבור סיפורו שימל'ה, שהוא "גביר אדיר בעל ריבוא רבבות"). בתחילת המאה ה־20 כתב דוד פרישמן בסיפור "מצווה": "איש נחמד כמוהו לא תמצא גם בין אלף אלפי אלפים".

מאוחר יותר נקלטו מן השפות האירופיות שמות מיוחדים למספרים הגדולים: בראש וראשונה מיליון, השווה לאלף אלפים ונכתב 1,000,000, ומיליארד, השווה לאלף מיליונים, ונכתב 1,000,000,000.

בשמות למספרים גדולים עוד יותר, קיימות שתי סקאלות – השיטה האירופית הנקראת גם סקאלה ארוכה, והאמריקנית הנקראת גם סקאלה קצרה – ששתיהן מוצאן מצרפת במאות ה־15 וה־16.

בשיטה האמריקאית (הקצרה) המספר שאחרי מיליון, אלף מיליונים (מיליארד), נקרא ביליון, ואלף ביליונים נקראים טריליון. נראה שאת המילים "ביליון" ו"טריליון" טבע המתמטיקאי הצרפתי ניקולא שיקה (Nicolas Chuquet;‏ 1445–1488), אלא שהוא הקצה אותם עבור המספרים המובעים כ־1 שאחריו 12 או 18 אפסים, בהתאמה. בכך ייסד שיקה את הסקאלה הארוכה, שסדר המספרים בה הוא: מיליון, מיליארד, ביליון, ביליארד, טריליון, וכן הלאה (ההיגיון שבשיטה מוצג להלן).

מתמטיקאים אחרים בצרפת אימצו שמות אלה ממש עבור המספרים בני 9 ו־12 אפסים, וזו הפכה לשיטה הצרפתית, שאומצה גם מעבר לים, בארצות הברית. שיטתו של שיקה (הארוכה) הייתה נהוגה באנגליה ובגרמניה, עד שב־1948 אימצה אותה גם צרפת, והותירה את ארצות הברית כמנהיגת השיטה האמריקנית. עיקר המחלוקת היה, באופן טבעי, בפירוש המלה "ביליון" (תשעה אפסים באמריקה, שנים־עשר באירופה). ב־1974 הודיע ראש־ממשלת בריטניה, הרולד וילסון, כי בריטניה מקבלת את הפירוש האמריקני למלה "ביליון", ומדריך הסגנון של 'הטיימס' הלונדוני מיהר לאמץ החלטה זו.

השמות מבוססים על קידומות (prefix) לטיניות למספרים קטנים, בתוספת הסיומת "־ליון". כך, ביליון הוא בי־ליון ("בי־" מתייחס למספר 2 כלומר מכפלה מסדר גודל שני), וטריליון מגיע מ"טרי־" (הקידומת ל־3 כלומר מכפלה מסדר גודל שלישי). בהתאם לשמות הלטיניים למספרים הבאים, ממשיכה הסדרה הקצרה כך:

ביליון (2), טריליון (3), קוודריליון (4), קווינטיליון (5), סקסטיליון (6), ספטיליון (7), אוקטיליון (8), נוניליון (9), דציליון (10), וכן הלאה.

בשיטה האמריקנית ביליון שווה לאלף מיליונים, טריליון לאלף ביליונים, וכן הלאה. n־יליון שווה לאחד המוביל 3n+3 אפסים. בשיטה האירופית, ביליון הוא מיליון מיליונים, טריליון הוא מיליון ביליונים, וכן הלאה. ב־n־יליון יש 6n אפסים. לפי שיטה זו, n־יארד שווה לאלף n־יליונים; כך מיליארד הוא אלף מיליונים, ביליארד הוא אלף ביליונים, וכן הלאה. לדוגמה, בקוודריליון (n=4) יש 15 אפסים לפי השיטה האמריקנית, ו־24 לפי השיטה האירופית. בקוודריליארד יש 27 אפסים (לפי השיטה האירופית; המספר אינו קיים בשיטה האמריקנית).

בישראל

בישראל ובעברית נהוגה כיום שיטה המבוססת על השיטה האמריקאית בהבדל אחד: המספר אלף מיליונים נקרא "מיליארד", ולא "ביליון". עד פברואר 2013 הייתה נהוגה פורמלית השיטה האירופית (על־פי מילון מונחי המתמטיקה תשמ"ה, וכן בספרים שקדמו לשנה זו), עד שהאקדמיה ללשון העברית אימצה^[7] את השיטה המשולבת.

השינוי נבע מהבלבול בשימוש במספר ביליון: בעוד שבקרב אנשי אקדמיה ואחרים הוא היה רווח בשימוש כשווה ערך למיליארד, הרי שלפי השיטה האירופית הנהוגה אז הוא היה שווה ל-1,000 מיליארדים. לכן הוחלט לא להשתמש יותר במונח "ביליון". בנוסף נבע השינוי מהשתרשות המונח "טריליון" במשמעותו האמריקנית כ-1,000 מיליארדים בעיתונות הכלכלית ובמקומות נוספים^[8]. השימוש בשמות למספרים שמעל אלף מיליארדים (טריליון) אינו שכיח.

השוואה בין השיטות

להלן טבלת השוואה בין שתי השיטות – short scale ("האמריקאית") ו־long scale ("האירופית") (אנ'), בבסיס עשר.

רישום המספר בשיטה העשרונית		שם בשיטה הישראלית	שם בשיטה אמריקאית	ההיגיון בשיטה האמריקנית	שם בשיטה האירופית	ההיגיון בשיטה האירופית
10⁰	1	אחת		1,000⁰	אחת	$\ 1,000,000^{0.0}$
10³	1,000	אלף		1,000⁰⁺¹	אלף	$\ 1,000,000^{0.5}$
10⁶	1,000,000	מיליון		1,000¹⁺¹	מיליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {1} }.0}$
10⁹	1,000,000,000	מיליארד	ביליון	1,000²⁺¹	מיליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {1} }.5}$
10¹²	1,000,000,000,000	טריליון		1,000³⁺¹	ביליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {2} }.0}$
10¹⁵	1,000,000,000,000,000	קוודריליון		1,000⁴⁺¹	ביליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {2} }.5}$
10¹⁸	1,000,000,000,000,000,000	קווינטיליון		1,000⁵⁺¹	טריליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {3} }.0}$
10²¹	1,000,000,000,000,000,000,000	סקסטיליון		1,000⁶⁺¹	טריליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {3} }.5}$
10²⁴	1,000,000,000,000,000,000,000,000	סֶפּטיליון		1,000⁷⁺¹	קוודריליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {4} }.0}$
10²⁷	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000	אוקטיליון		1,000⁸⁺¹	קוודריליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {4} }.5}$
10³⁰	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	נוֹניליון		1,000⁹⁺¹	קווינטיליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {5} }.0}$
10³³	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	דֶסיליון		1,000¹⁰⁺¹	קווינטיליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {5} }.5}$
10³⁶	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	אוּנדסיליון		1,000¹¹⁺¹	סקסטיליון	$\ 1,000,000^{{\mathbf {6} }.0}$
10³⁹	1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	דואודסיליון		1000¹²⁺¹	סקסטיליארד	$\ 1,000,000^{{\mathbf {6} }.0}$

השיטה האמריקאית ממשיכה באותה תבנית (כל 3 אפסים – שם חדש) עם השמות דואודסיליון (10³⁹), טרדסיליון (10⁴²) וקווטואורדסיליון (10⁴⁵).

גוגול, שהוא 10¹⁰⁰, כלומר אחד המוביל 100 אפסים, שווה לעשרה דואוטריגינטיליונים בשיטה האמריקאית, ולעשרה סקסדקיליארד בשיטה האירופאית. גוגולפלקס הוא 1 ולאחריו גוגול אפסים, או עשר בחזקת גוגול: $10^{\mbox{googol}}=10^{10^{100}}$ .

קידומות מקובלות

במקביל לשמות המספרים, קיימת מערכת של תחיליות במערכת היחידות הבינלאומית, המציינות כפל בחזקה מתאימה של עשר – חזקות חיוביות למספרים גדולים, וחזקות שליליות למספרים חיוביים הקטנים מ־1. כך, למשל, קילוגרם אחד שווה לאלף גרם, מילימטר הוא אלפית המטר, ופצצה שעוצמת פיצוצה שווה לעוצמת פיצוץ של מיליון טון TNT היא פצצה בעוצמה של מגהטון TNT.

ביחידות הקשורות למחשבים, שולטת השיטה הבינארית; בשל העובדה ש־ $\ 2^{10}=1024$ קרוב בערכו לאלף, נעשה שימוש בתחיליות מערכת היחידות הבינלאומית בצורה מקורבת, כדי לתאר חזקות שלמות מסוימות של 2. כך למשל, קילובייט הוא 1,024 בתים (ולא 1,000), מגהבייט הוא $\ 2^{20}$ בתים (4.86% יותר ממיליון), וכן הלאה. אף על פי כן, מטעמים שיווקיים מעדיפים יצרני חומרה להשתמש בבסיס 10 ככל האפשר, שכן המספרים המתקבלים גבוהים ומרשימים יותר. כך למשל, דיסק קשיח שנמכר כדיסק של 250GB, הוא למעשה בנפח של 232GB המבוססים על הבסיס הבינארי.

כתיב מדעי של מספרים

ערך מורחב – כתיב מדעי

כדי להגדיל את הבהירות והקריאות, נמנעים בכתיבה מדעית משימוש בשמות של מספרים. מספר השווה לאחד עם אפסים מימינו נכתב כחזקת־10, בצורה $\ 10^{m}$ . כך למשל מיליון הוא $\ 10^{6}$ , ומיליארדית (אחד חלקי מיליארד) היא $\ 10^{-9}$ . עבור מספרים כלליים יותר, נותנים את הספרה המשמעותית הראשונה וספרות נוספות לפי הצורך, כפול חזקה של עשר. כך, מרחקו של כדור הארץ מן השמש, מאה וחמישים מיליון קילומטרים, נכתב $\ 1.5\cdot 10^{8}$ קילומטרים. בעבר, כאשר מכונת כתיבה הייתה אמצעי הכתיבה הנפוץ, היה מקובל סימון $\ 1.5E8$ לאותו מספר (כדי לחסוך את העלייה לשורה אחרת של תווי הדפוס). צורה זו עודנה נפוצה במחשבונים ובגיליונות אלקטרוניים (דוגמת אקסל).

במחשבים, נפוצה שיטת הנקודה הצפה לייצוג מספרים גדולים. שיטת הנקודה הצפה דומה לכתיבה המדעית, אלא שמחשבים משתמשים בדרך כלל במערכת בינארית ולכן בסיס החזקה הוא 2 במקום 10.

ביטויים בשפת היום־יום

המספרים הגדולים (כגון מיליון ומיליארד) משמשים רבות בשפת היום־יום בצורך לבטא מספר גדול משיעור, משהו גדול יותר מדי וכו', למשל: "יש באמבטיה הזאת איזה מיליון בועות סבון".

קיימות בשפות שונות מילים שמציינות מספר גדול שערכו לא מוגדר^[9]. כך למשל המילים "מלאן", "מלאנתאלפים" ו"אלפתאלפים" בעברית או "זיליון" (zillion^[10]) באנגלית, המציינות מספר גדול ללא משמעות מתמטית מוגדרת.