מידה סיגמא-סופית

בתורת המידה, ניתן לייחס למידה $\mu$ על מרחב מדיד $\left(X,{\mathcal {M}}\right)$ מספר תכונות של "סופיות", אשר במובן מסוים מגבילות את גודל המרחב והופכות את הטיפול בו לנוח ומעשי יותר. אקסיומות המנייה בטופולוגיה הן תכונות דומות המיוחסות למרחבים טופולוגיים.

הגדרה

יהי $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ מרחב מידה. נאמר שהמידה $\mu$ היא:

• סופית אם $\ \mu (X)<\infty$ (כלומר מידת המרחב כולו היא סופית).
• σ-סופית (סיגמא-סופית) אם המרחב $\ X$ הוא איחוד בן מניה של קבוצות מדידות $\ E_{1},E_{2},\dots$ בעלות מידה סופית.
• סמי-סופית (או סופית למחצה) אם כל קבוצה מדידה $\ E\subseteq X$ ממידה חיובית מכילה תת-קבוצה מדידה $\ F\subseteq E$ בעלת מידה סופית שאינה אפס.

באופן מעט כללי יותר, אומרים על תת-קבוצה מדידה $\ E\subseteq X$ שהיא מקיימת את אחת מהתכונות הנ"ל אם הצמצום של $\,\mu$ לתתי-הקבוצות המדידות של $E$ נותן מידה המקיימת את התכונה המדוברת. למשל, $\ E\subseteq X$ היא קבוצה סיגמא-סופית (ביחס ל-$\,\mu$) אם היא איחוד בן מניה של קבוצות מדידות ממידה סופית.

כל מידה סופית היא סיגמא-סופית וכל מידה סיגמא-סופית היא סמי-סופית, אך באופן כללי כל אחת מהתכונות הללו היא חלשה ממש מקודמותיה.

דוגמאות

מידות הסתברות

כל מידת הסתברות היא סופית, שהרי מידת הסתברות $\mu$ על מרחב $X$ נדרשת לקיים $\mu (X)=1$.

מידת לבג

מידת לבג על $\mathbb {R} ^{n}$ היא סיגמא-סופית אבל לא סופית. אכן, אם $E_{k}=\left[-k,k\right]^{n}$ אז הקבוצות $E_{1},E_{2},\dots$ הן מדידות וממידה סופית ואיחודן הוא $\mathbb {R} ^{n}$.

המידה הסופרת

ניתן גם לצייד את הישר הממשי $\mathbb {R}$ במידה הסופרת, אשר מוגדרת באופן הבא: המידה של כל קבוצה סופית היא מספר האיברים בה והמידה של קבוצה אינסופית היא $\infty$. אז מידה זו אינה סיגמא-סופית, כי כל קבוצה ממידה סופית מכילה רק מספר סופי של נקודות ולכן יידרש מספר לא בן מניה של קבוצות כאלה כדי לכסות את כל הישר הממשי. עם זאת, זוהי מידה סמי-סופית, כי כל קבוצה שמידתה חיובית מכילה יחידון כלשהו ומידת יחידון במרחב מידה זה היא 1.

חבורות קומפקטיות מקומית

כל חבורה קומפקטית מקומית היא סמי-סופית ביחס למידת האר שלה, דבר אשר נובע מהקומפקטיות המקומית של החבורה ומהעובדה שמידת האר של קבוצה קומפקטית בעלת פנים לא ריק היא תמיד חיובית וסופית. אם החבורה היא בנוסף סיגמא-קומפקטיות, אז היא סיגמא-סופית ביחס למידת האר. משפט בסיסי בתורה של חבורות טופולוגיות אומר שכל חבורה קשירה קומפקטית מקומית היא סיגמא-קומפקטית ולכן כל חבורה כזו היא בעלת מידת האר סיגמא-סופית. מידת האר של חבורה קומפקטית מקומית היא סופית אם ורק אם החבורה היא קומפקטית.

דוגמאות שליליות

כל מידה (שאינה זהותית אפס) אשר מחזירה רק את הערכים 0 ו-$\infty$ היא בבירור לא סמי-סופית (שהרי לא קיימות במרחב שכזה קבוצות ממידה חיובית סופית). לכן מידה שכזו היא גם לא סיגמא-סופית ולא סופית. דוגמה אחת למידה כזו היא כדלקמן: לכל $A\subseteq \mathbb {R}$, נגדיר $\mu (A)=\infty$ אם $A$ לא ריקה ו-$\mu (\varnothing )=0$. עוד מידה מסוג זה מוגדרת על ידי $\mu (A)=\infty$ אם ורק אם $A$ אינה בת מניה.

תכונות של מידות סיגמא-סופיות

למחלקת המידות הסיגמא-סופיות יש מספר תכונות נוחות ביותר; מבחינה זו ניתן להשוות סיגמא-סופיות לתכונת הספרביליות של מרחבים טופולוגיים. משפטים מסוימים בתורת המידה דורשים סיגמא-סופיות בתור הנחה. לדוגמה, משפט רדון-ניקודים ומשפט פוביני אינם נכונים ללא הנחה מסוימת של סיגמא-סופיות (או משהו דומה) על המידות או על הקבוצות שעוסקים בהן.

אף על פי שלעיתים מתייחסים למידות שאינן סיגמא-סופיות כפתולוגיות, הן מופיעות בצורה טבעית למדי בתחומים שונים. למשל, אם $X$ הוא מרחב מטרי עם מימד האוסדורף $r$, אז כל מידות האוסדורף שממימד נמוך יותר אינן סיגמא-סופיות אם מתייחסים אליהן כאל מידות על $X$. בנוסף, כפי שצוין לעיל, חבורה קומפקטית מקומית אינה חייבת להיות סיגמא-סופית ביחס למידת האר שלה.

שקילות למידת הסתברות

כל מידה סיגמא-סופית $\mu$ על מרחב $X$ שקולה למידת הסתברות על $X$: יהי $\left\{V_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ כיסוי של $X$ על ידי קבוצות מדידות זרות בזוגות ממידה $\mu$-סופית ותהי $\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים חיוביים ("משקלות") כך ש-

$\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1$.

המידה $\nu$ המוגדרת על ידי

$\nu \left(A\right)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}$

היא מידת הסתברות על $X$ אשר שקולה למידה $\mu$, כלומר יש להן בדיוק את אותן קבוצות ממידה אפס.

תכונות של מידות סמי-סופיות

מסתבר ששתי הדוגמאות למידה לא סמי-סופית שניתנו לעיל, בהן המידה מחזירה רק את הערכים 0 ו-$\infty$, הן במובן מסוים דוגמאות טיפוסיות למידה לא סמי-סופית. בהינתן מידה כלשהי $\mu$, ניתן להגדיר מידה חדשה על אותו המרחב לפי

$\mu _{0}\left(E\right)=\sup \left\{\mu \left(F\right):F\subseteq E,\,\mu \left(F\right)<\infty \right\}$

המידה $\mu _{0}$ היא סמי-סופית והיא מכונה לעיתים החלק הסמי-סופי של $\mu$. ההצדקה לטרמינולוגיה זו היא העובדה הבאה: קיימת מידה $\nu$ על אותו המרחב אשר מחזירה רק את הערכים 0 ו-$\infty$ כך שמתקיים $\mu =\mu _{0}+\nu$. $\mu$ היא סמי-סופית אם ורק אם $\mu =\mu _{0}$. נעיר כי המידה $\nu$ לעיל באופן כללי לא נקבעת ביחידות.

נדיר מאוד למצוא מידות לא סמי-סופיות בשימושים בפועל, אלא אם כן יוצאים מראש במטרה למצוא מידה שכזו.

הכללות

את המושגים של סופיות, סיגמא-סופיות וסמי-סופיות ניתן להכליל גם למידות לא חיוביות. אם $\mu$ היא מידה מסומנת או מידה מרוכבת, נאמר ש-$\mu$ היא בעלת אחת מהתכונות הללו אם מידת ההשתנות הכוללת שלה $\left|\mu \right|$ היא בעלת התכונה המתאימה.

פריקות של מידה היא תכונה אשר דומה לסיגמא-סופיות, אך כללית יותר.

לקריאה נוספת

• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999