מטריצת קושי

במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:

$\,a_{ij}={\frac {1}{x_{i}+y_{j}}};\qquad x_{i}+y_{j}\neq 0,\qquad 1\leq i\leq m,\qquad 1\leq j\leq n$

כאשר $\,x_{i}$ ו-$\,y_{j}$ הן סדרות של איברים השייכים לשדה $\,{\mathcal {F}}$, כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.

תכונות

• כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:

$\det A={{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\prod _{i<j}(y_{i}-y_{j})} \over {\prod _{i,j}(x_{i}+y_{j})}}.\,$

• מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
• כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.

דוגמאות

מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים

$\,x_{i}+y_{j}=i+j-1$

לקריאה נוספת

• A. Gerasoulis, A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, no. 181, pp. 179-188.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky, Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation, 1995; vol. 64, no. 212, pp. 1557-1576.
• P.G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin, An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices, Computers & Mathematics with Applications, 2005; 50, pp. 741-752.