מומנט כוח

מומנט כוח (באנגלית אמריקנית: Torque באנגלית בריטית: Moment, Moment of force) הנקרא גם מומנט סיבוב או פשוט מומנט הוא מושג בפיזיקה ובמכניקה, מתחום הדינמיקה הסיבובית במכניקה של גוף קשיח, המקביל לכוח בדינמיקה. המומנט הוא גודל וקטורי.

מבוא אינטואיטיבי

במקרים רבים הנתון המשמעותי הוא מכפלת הכח באורך הזרוע. אם לדוגמה נפעיל כח של 1 ניוטון על מפתח שוודי באורך 30 ס"מ ההשפעה על המפתח תהיה זהה למקרה בו היינו מפעילים כח של 3 ניוטון על מפתח באורך 10 ס"מ. דוגמה נוספת: אופן סיבובה של נדנדה ייקבע לפי מכפלת משקל הגוף במרחקו מציר הסיבוב של הנדנדה. אם נחזור לדוגמה של המפתח השוודי. כדי לדעת אם האום ייפתח, או לחלופין את מהירות הסיבוב של האום בפתיחתו, איננו צריכים לדעת את גודל הכח המופעל ולא את אורך המפתח. הנתון היחיד הדרוש לנו הוא המומנט – מכפלת הכח באורך הזרוע.

פורמליזם מתמטי

תרשים להבהרת המושגים במומנט סיבוב. צורה פשוטה יותר להבין את משמעות ה־sin שנוסף לנוסחה היא שמתייחסים רק לרכיב הכוח שמאונך למוט.

כלל יד ימין לקביעת כיוון הווקטור

המומנט מוגדר פיזיקלית כמכפלת הכוח הפועל בזרוע הכוח, או ברישום מתמטי:

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

כאשר:

• ${\vec {\tau }}$ מסמל את המומנט
• ${\vec {F}}$ הוא וקטור הכוח
• ${\vec {r}}$ הוא וקטור המרחק בין ציר הסיבוב של הגוף לבין נקודת הפעלת הכוח
• $\times$ הוא סימן המכפלה הווקטורית

מכאן שגודלו הסקלרי של המומנט נתון בנוסחה:

$\tau =rF\sin \theta$

• $\theta$ – הזווית בין הזרוע לבין הכוח

היחידות בהן נמדד המומנט, כמו שנובע מנוסחה זו, הן כוח כפול מרחק, יחידות ניוטון־מטר. אף על פי שהיחידות של מומנט שקולות ליחידות של אנרגיה, לא נהוג למדוד את המומנט ביחידות של אנרגיה (ג'ולים).

באופן המקביל לחוק השני של ניוטון, ניתן להגדיר את המומנט כשינוי לפי הזמן של התנע הזוויתי:

${\vec {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}$

הגדרה זו שקולה להגדרה הקודמת שכן

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {r}}\times {\vec {p}})={\vec {r}}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}+{\vec {v}}\times m{\vec {v}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

כאשר:

• ${\vec {v}}$ – וקטור המהירות
• $m$ – המסה

בהוכחה נעזרנו בהגדרה של כוח כנגזרת בזמן של התנע הקווי, של התנע כמכפלת המהירות והמסה ובעובדה שמכפלה וקטורית של שני וקטורים תלויים ליניארית היא ${\vec {0}}$.

חוקי המומנט

לגבי המומנט יש שלושה חוקים הדומים לחוקי ניוטון:
1. לשם השגת שיווי משקל מכני נחוץ לא רק שסכום הכוחות הפועלים על הגוף יהיה 0, אלא גם שסכום המומנטים עליו יהיה 0, צריך להתקיים:

$\sum {\vec {\tau }}=0$

בדומה לחוק הראשון של ניוטון:

$\sum {\vec {F}}=0$

2. התאוצה הזוויתית של הגוף מתקבלת על פי הנוסחה:

$\sum {\vec {\tau }}=I\ {\vec {\alpha }}$

כאשר:

• ${\vec {\alpha }}$ – התאוצה הזוויתית של גוף
• $I$ – מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור

בדומה לחוק השני של ניוטון:

$\sum {\vec {F}}=m\ {\vec {a}}$

3. חוק הפעולה והתגובה: כאשר שני גופים מסתובבים סביב אותו ציר סיבוב, המומנט שגוף אחד מפעיל על השני גורם למומנט שווה בגודלו והפוך בסימנו שמפעיל הגוף השני על הראשון.

${\vec {\tau }}1=-{\vec {\tau }}2$

בדומה לחוק השלישי של ניוטון:

${\vec {F}}1=-{\vec {F}}2$

עבודה

העבודה שמבצע המומנט לאורך הזווית היא:

$W=\tau \theta$

• $W$ – העבודה
• $\tau$ – המומנט
• $\theta$ – הזווית לאורכה מתבצעת התנועה

בדומה לחוק המוכר מתנועה קווית ישרה:

$W=Fx$

מומנט והספק

הקשר בין ההספק, המומנט ומהירות הסיבוב נתון על ידי המכפלה:

$P=T\times \omega$

כאשר:

• $P$ – הספק
• $\omega$ – מהירות סיבוב
• $T$ – מומנט

ביחידות SI, ההספק נמדד בוואט, המומנט בניוטון כפול מטר ומהירות הסיבוב ברדיאנים לשנייה.

ביחידות שונות:

ביחידות בריטיות (אימפריאל), כאשר ההספק נמדד בכוח סוס (1 כ"ס = 746 ואט), המומנט בליברה כפול פיט ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

$P{\mbox{ (hp)}}\approx {\frac {{\mbox{T(lbf}}\cdot {\mbox{ft)}}\times \omega {\mbox{ (rpm)}}}{5252}}$

כאשר ההספק נמדד בכוחות סוס, (1 כ"ס = 746 ואט), המומנט בליברה כפול אינץ' ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

$P{\mbox{ (hp)}}\approx {\frac {{\mbox{T(lbf}}\cdot {\mbox{inch)}}\times \omega {\mbox{ (rpm)}}}{63000}}$

כאשר ההספק נמדד בכוח סוס מטרי, (1 כ"ס = 736 ואט), המומנט בק"ג כוח כפול סנטימטר ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

$P{\mbox{ (hp)}}\approx {\frac {{\mbox{T(kg}}\cdot {\mbox{cm)}}\times \omega {\mbox{ (rpm)}}}{71620}}$

ראו גם

• תנע זוויתי
• מכניקה
• מכניקה של גוף קשיח
• מומנט כפיפה
• מאמץ פיתול
• מנוף (מכניקה)

לקריאה נוספת

• McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Book Company 1983, ISBN 0-07-045486-8
• Tipler Paul, Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics 5th ed W. H. Freeman, 2004 ISBN 0716708094

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מומנט כוח בוויקישיתוף

• פיתול, באנגלית באתר Answers.com
• מחשבון המרת יחידות של מומנטי סיבוב
• כוח ומומנט, באתר ג'יפולוג
• מומנט כוח, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)