מדד מיקום מרכזי

בסטטיסטיקה, מדד מיקום מרכזי (או מדד מרכז) הוא ערך מייצג של התפלגות (נקרא גם ערך מרכזי). אף על פי שהמושג אינו מוגדר פורמלית, הממוצע החשבוני, החציון והשכיח הם הדוגמאות הנפוצות ביותר למדדי מיקום מרכזי. בסטטיסטיקה תאורית בוחרים את מדד המרכז בהתאם לסוג המשתנה. משתנה איכותי ניתן לתיאור בעזרת השכיח; משתנה אורדינאלי ניתן לתיאור גם בעזרת החציון; ומשתנה בסולם מדידה שבו אפשר להשוות הפרשים – ניתן לתיאור גם בעזרת ממוצע.

מדד מרכז יכול להיות מחושב עבור קבוצה סופית של ערכים (תצפיות במדגם) או עבור פונקציית התפלגות נתונה, כגון ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. בדרך כלל כהשלמה למדדי מרכז יוצגו גם מדדי פיזור שונים, דוגמת שונות וטווח בין רבעוני.

מדדי מרכז נפוצים

ממוצע חשבוני – סכום התצפיות מחולק במספר התצפיות.
ממוצע משוקלל – עבור כל תצפית במדגם נגדיר משקל, כך שסכום המשקלות יהיה אחד. הממוצע המשוקלל יהיה סכום המכפלות של כל תצפית במשקל שלה. נשים לב כי ממוצע חשבוני הוא למעשה ממוצע משוקלל עם משקלות זהות לכל התצפיות.
חציון – הערך אשר בדיוק חצי מכמות הערכים גדולים ממנו, ומחציתם קטנה או שווה לו. ניתן לחשב ערך זה גם למשתנים אורדינאליים.
שכיח – הערך שמופיע הכי הרבה פעמים במדגם. ניתן לחישוב גם עבור משתנה נומינלי.
ממוצע גאומטרי/הנדסי – השורש ה-n של מכפלת כל התצפיות כאשר n הוא מספר התצפיות.
אמצע הטווח – ממוצע חשבוני של ערכי המקסימום והמינימום במערכת נתונים.

מדדי מרכז ופונקציות הפסד

הממוצע, החציון והשכיח מתקבלים באופן טבעי כאשר מסתכלים על בעיה של מזעור פונקציית הפסד עבור אוסף נתון של תצפיות:

הממוצע יתקבל בתור הערך שממזער פונקציית הפסד ריבועית: $L_{2}(m)=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-m)^{2}$ כאשר $X_{i},i=1,\dots ,n$ הן התצפיות.

באופן דומה החציון הוא הממזער של פונקציית הפסד של ערך מוחלט $L_{1}(m)=\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-m|$ .

השכיח הוא הממזער של פונקציית ההפסד הבאה: $L_{0}(m)=\sum _{i=1}^{n}I_{m}(X_{i})$ כאשר $I_{m}(X_{i})={\begin{cases}1&{\text{if }}m=X_{i}\\0&{\text{else}}\end{cases}}$ .

פונקציות אלו הן חלק ממשפחה של פונקציות הפסד (נורמות) בשם פונקציות $\ell _{p}$ .

ראו גם

לקריאה נוספת

Weisberg H.F (1992) Central Tendency and Variability, Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, ISBN 0-8039-4007-6p.2

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מדד מיקום מרכזי בוויקישיתוף

מדדי מרכז, באתר המרכז לטכנולוגיה חינוכית