מבחן t

מבחן t בסטטיסטיקה הוא שם כולל למספר מבחנים סטטיסטיים העוסקים בהשערות על התוחלת של נתונים המגיעים מהתפלגות נורמלית, כאשר השונות אינה ידועה.

במבחנים אלו, סטטיסטי המבחן מתפלג בהתפלגות t בהינתן שהשערת האפס $H_{0}$ נכונה. אם המדגם גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות של האוכלוסייה שווה לשונות המדגם.

מבחני t מכונים גם מבחני סטודנט על פי שם העט של החוקר ויליאם גוסט שפיתח אותם. ניתן לנצל אותם רק במידה והנתונים מקיימים התפלגות נורמלית. במקרים אחרים ניתן לנצל מבחנים שפותחו על ידי פרנק וילקוקסון.

סוגי מבחן t

ישנם שלושה סוגים של מבחן t:

• מבחן t למדגם יחיד. מבחן זה מסייע לבדוק האם הממוצע באוכלוסייה שמתוכה המדגם שונה באופן מובהק מערך קבוע כלשהו. שימוש לדוגמה במבחן t למדגם יחיד: בדיקה האם ילדים נמצאים בטווח ההתפתחות התקינה במדד כלשהו, כאשר הערך שממנו ומעלה ההתפתחות נחשבת לתקינה ידוע ותוקף במחקרים קודמים.
• מבחן t למדגמים בלתי תלויים. מבחן זה משמש לבדיקה האם הממוצעים בשתי קבוצות נפרדות שונים זה מזה באופן מובהק. דוגמה לשימוש במבחן t למדגמים בלתי תלויים: בדיקה האם יש הבדל מובהק ברמת ההתפתחות בין שתי קבוצות ילדים שונות.
• מבחן t למדגמים מזווגים. מבחן זה משמש לבדיקה האם יש הבדל בין שני משתנים כאשר המקרים קשורים זה בזה, ולא בקבוצות נפרדות כמו במבחן t למדגמים בלתי תלויים. דוגמה לשימוש במבחן t למדגמים מזווגים: בדיקה האם יש הבדל מובהק בתנובה הממוצעת של חלקות לפני ואחרי מתן דשן.

שימושים עיקריים למבחני t

• בדיקת השערות על ההפרש בין התוחלות של שתי אוכלוסיות (בהינתן מדגם מזו ומדגם מזו). (הגרסה שבה אין מניחים כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות נקראת לעיתים מבחן ולץ').
• בדיקת השערות על ההפרש בין תוחלות של זוג משתנים, בהינתן מדגם של זוגות.
• בדיקת השערות בנוגע לקורלציה בין שני משתנים מקריים.

דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה

מעוניינים לבדוק את השערת האפס, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת :$H_{0}:\mu =\mu _{0}$, כאשר השונות $\sigma ^{2}$ אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, $x_{1},\dots ,x_{n}$ (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), רוצים לדחות או לקבל את ההשערה ש-$\mu =\mu _{0}$ עבור $\mu _{0}$ נתון כלשהו.

לשם ההמשך, נסמן:

• ההשערה החלופית, $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}$
• ממוצע המדגם: ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$.
• סטיית התקן שנאמדה מתוך המדגם: $S_{x}$

בסימונים אלו, אם מתקיימת $H_{0}$, אז הסטטיסטי ${\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$ יתפלג לפי התפלגות נורמלית סטנדרטית (ראו משפט הגבול המרכזי). אולם, היות שהשונות $\sigma ^{2}$ אינה ידועה, לא ניתן להשתמש בסטטיסטי זה.

עם זאת, ניתן להשתמש בסטטיסטי העושה שימוש באמד חסר הטיה לשונות המחושב מתוך המדגם: ${\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}$. מכיוון שהמכנה אינו קבוע, סטטיסטי זה אינו מתפלג נורמלית; ההתפלגות שלו היא התפלגות t, עם $n-1$ דרגות חופש.

נותר רק לקבוע את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית $H_{0}$ עבור שגיאת $\alpha$ (לשגיאה מהסוג הראשון), כלשהי:

$\mathbb {P} \left(-T<{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S_{x}}}<T\right)=1-\alpha \Rightarrow T=t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}$

כלומר,

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(-t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}<{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}<t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\end{aligned}}$

לפי המבחן שחושב, בהתקבל מדגם, תידחה $H_{0}$ אם $\left|{\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\frac {S_{x}}{\sqrt {n}}}}\right|>t_{(n-1),1-{\frac {\alpha }{2}}}$.

הערה

התפלגות t מתכנסת להתפלגות נורמלית ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-$30<n$) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי התפלגות נורמלית סטנדרטית.

קישורים חיצוניים

• מבחן t, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מבחן t, באתר Analysis4U.co.il (בעברית)