ללא הגבלת הכלליות

ללא הגבלת הכלליות (לעיתים גם "בלי הגבלת הכלליות" או בה"כ) הוא ביטוי המשמש בהוכחות מתמטיות כדי לציין שניתן להוכיח טענה למקרה פרטי וההוכחה עדיין תהיה תקפה גם למקרה הכללי. כלומר, זהו מצב בו מניחים הנחה נוספת בשביל להקל על הוכחה, וזאת בתנאי שההנחה לא מצמצמת את קבוצת האובייקטים עליהם ההוכחה חלה.

שימוש נפוץ במונח הוא כשרוצים להוכיח טענה על שני משתנים, x ו-y שונים, השייכים לקבוצה כלשהי, שאין להם מאפיינים נוספים. ההוכחה עשויה לפתוח במשפט "נניח ללא הגבלת הכלליות כי x<y". הנתון החדש הזה עשוי לעזור בהוכחת הטענה ומצד שני הוא לא פוגם בנכונותה למקרה הכללי כי ההוכחה למקרה y<x אנלוגית לחלוטין.

מקרה נפוץ נוסף הוא כשמוכיחים טענה רק למקרה הקיצוני ביותר שלה, ולכן היא נכונה גם למקרים מתונים יותר.

דוגמאות

• בהוכחת האי-רציונליות של שורש 2 מניחים (על דרך השלילה) כי קיימים $\ a,b$ שלמים כך ש-$\ a/b$ שווה לשורש 2. לשם ההוכחה מניחים ללא הגבלת הכלליות כי $\ a,b$ זרים, כי לכל מספר רציונלי יש הצגה בדרך זו וכל הצגה אחרת שווה לה.
• בהוכחת הנוסחה למציאת שורשים של פולינום ממעלה שלישית ניתן להסתפק ללא הגבלת הכלליות בהוכחת נכונותה לכל פולינום מתוקן, שכן כל פולינום ניתן לתקן על ידי חלוקה במקדם העליון.
• את משפט פרמה לנקודות קיצון מספיק להוכיח ללא הגבלת הכלליות למקסימום מקומי כי ההוכחה למינימום מקומי אנלוגית לחלוטין.
• משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בונה התאמה חד-חד ערכית בין שתי קבוצות המקיימות תנאי מסוים. בהוכחת המשפט מניחים ללא הגבלת הכלליות כי הקבוצות זרות, כי אם הן אינן זרות ניתן להתאים את החיתוך שלהן לעצמו באופן טריוויאלי ואין טעם לסרבל כך את ההוכחה.

ראו גם

• עד כדי