לולאת מופן

במתמטיקה, לולאת מופן היא לולאה המקיימת זהויות מסוימות. כל חבורה היא לולאת מופן. הלולאות נקראות על שמה של רות מופן , שהוכיחה ב-1935 ששלושה איברים a,b,c בלולאת מופן המקיימים את היחס $(ab)c=a(bc)$ יוצרים חבורה. נובע מכאן שהחזקות $x^{n}$ מוגדרות היטב.

בלולאת מופן כל האיברים הפיכים, והיא מקיימת את תכונת ההיפוך $x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}$. תת-לולאה ולולאת מנה של לולאת מופן הן לולאות מופן. הדוגמה המרכזית ללולאת מופן היא אוסף האיברים ההפיכים באלגברה אלטרנטיבית. כל לולאת מופן סופית פשוטה היא או חבורה פשוטה, או "לולאת Paige" (ראו להלן). לולאת מופן הלא-אסוציאטיבית הקטנה ביותר מתקבלת מהכפלת קיילי-דיקסון של החבורה $S_{3}$, והיא מסדר 12.

זהויות

הזהויות הבאות שקולות זו לזו:

• $z(x(zy))=((zx)z)y$,
• $x(z(yz))=((xz)y)z$,
• $(z(xy))z=(zx)(yz)$,
• $z((xy)z)=(zx)(yz)$.

לולאה המקיימת אחת מהן, ולכן את כולן, היא לולאת מופן. כל לולאת מופן היא אלטרנטיבית מימין ומשמאל, ומקיימת את הזהות הגמישה. הגמישות מאפשרת לכתוב את הזהויות בצורה מקוצרת: z(x(zy)) = (zxz)y, x(zyz) = ((xz)y)z ו- z(xy)z = (zx)(yz).

האסוציאטור מוגדר בכל לולאה לפי הזהות $(a,b,c)(a\cdot bc)=(ab\cdot c)$ (מקורות שונים משתמשים בהגדרות דומות, אבל לא זהות). בלולאת מופן שבה מתקיימת הזהות $[(x,y,z),x]=1$, האסוציאטור מקיים $(x_{\sigma 1},x_{\sigma 2},x_{\sigma 3})=(x_{1},x_{2},x_{3})^{\operatorname {sgn} \sigma }$.

תורת המבנה

לולאות מופן סופיות מקיימות את תכונת לגרנז', לפיה הסדר של תת-לולאה מחלק את הסדר של הלולאה (במתכונת משפט לגרנז'. לולאות סופיות פשוטות הן או חבורות פשוטות, או לולאת Paige של האיברים ההפיכים באלגברת אוקטוניונים מפוצלת מעל שדה סופי, מודולו המרכז $\pm 1$.

כל לולאת מופן מושרית על ידי חבורה עם שילוש [1].

ידוע (Shestakov, 2003) שלא כל לולאת מופן (ואפילו סופית) ניתנת לשיכון בלולאת האיברים ההפיכים של אלגברה אלטרנטיבית. שאלה זו עודנה פתוחה עבור לולאות מופן קומוטטיביות.

לולאות מופן קומוטטיביות

בלולאת מופן קומוטטיבית מתקיימת הזהות $(a,b,c)^{3}=1$. נוסף לזה, כל חזקה שלישית שייכת לגלעין.

ראו גם

• How and why Moufang loops behave like groups, S.M. Gagola III, 2011 [2],

קישורים חיצוניים

• לולאת מופן, באתר MathWorld (באנגלית)