טיוטה:שיטת המומנטים (תורת ההסתברות)

בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים היא שיטה להוכחת התכנסות בהתפלגות באמצעות התכנסות סדרה של מומנטים.

יש להבדיל בין שיטת המומנטים בתורת ההסתברות לבין שיטת המומנטים בסטטיסטיקה. שני השיטות משתמשות במומנטים של התפלגות אך בתורת ההסבתרות, השיטה מוכיחה התכסנות בהתפלגות לעומת בסטטיסטיקה שבה השיטה משמשת לאמידת פרמטרים. כמוכן, בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים דורשת שכל המומנטים קיימים ואילו בתורת ההסתברות, מספיק שמספר המומנטים הקיימים שווה למספר הפרמטרים שיש לאמוד.

השיטה

יהי משתנה מקרי כך שכל המומנטים שלו קיימים, כלומר לכל $k\in \mathbb {N}$ מתקיים $E[X^{k}]<\infty$. נניח שההתפלגות נקבעת לפי המומנטים, משמע לא קיימת התפלגות אחרת בעלת אותם המומנטים. אם לכל $k\in \mathbb {N}$ מתקיים $\lim _{n\rightarrow \infty }E[X_{n}^{k}]=E[X^{k}]$ אז הסדרה $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת בהסתברות ל$X$ .

שיטה זו היא למעשה משפט Fr´echet-Shohat.

דוגמא להתפלגות שלא נקבעת על ידי מומנטים

נראה שהדרישה שהתפלגות נקבעת לפי המומנטים שלה היא הכרחית . נקח לדוגמא את ההתפלגות הלוג-נורמלית (עם $\mu =0,~~\sigma ^{2}=1$) המוגדרת על ידי פונקציית הצפיפות:

$f_{0}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}e^{\frac {-(\log x)^{2}}{2}}$

כמוכן, נגדיר סדרה של משתנים מקרים, $\{X\}_{n}^{\infty }$ שפונקציית הצפיפות שלהם מוגדרת על ידי $f_{n}(x)=f_{0}(x)(1+n\cdot sin(2\pi \log x))$ לכל $n\in \mathbb {N}$. ניתן להראות שהמומנט ה$k$ של שתי ההתפלגויות הינו $e^{\frac {k^{2}}{2}}$ ובפרט הם בעלי מומנטים שווים. מכאן שההתפלגות הלוג-נורמלית לא נקבעת על ידי המומנטים שלה. בעזרת אינטגרציה, ניתן לראות שהסדרה $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ לא מתכנסת בהתפלגות להתפלגות הלוג-נורמלית, בסתירה לשיטת המומנטים.

יישומים בתורת הדגימה

יהיו $x_{n1},...,x_{nn}$, $n$ מספרים לא בהכרח שונים, המשוייכים לאלמנטים באוכלוסייה. נניח שהדגימה מנורמלת באופן הבא

$\sum _{h=1}^{n}x_{n}h=0,~~\sum _{h=1}^{n}x_{nh}^{2}=1,~~M_{n}=\max _{h\leq n}|x_{nh}|$.

נקח דגימה בעלת חשיבות לסדר, $X_{n1},...,X_{nk_{n}}$ מתוך $n$ המספרים הנתונים ונסמן $S_{n}=X_{n1}+\cdots +X_{nk_{n}},~~s_{n}^{2}=k_{n}/n$. נשים לב ש$s_{n}$ הוא היחס בין גודל הדגימה לבין לגודל המדגם.

אילו $X_{nk}$ היו בלתי תלויים אז מההנחות על המדגם היינו מקבלים $Var(S_{n})=s_{n}^{2}$. מאחר וזה לא בהכרח המקרה, ניתן להשתמש בשיטת המומנטים כדי להראות שאם התנאים הבאים מתקיימים $s_{n}^{2}={\frac {k_{n}}{n}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,~~{\frac {M_{n}}{s_{n}}}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,~~k_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0$ אז ${\frac {S_{n}}{s_{n}}}\rightarrow N(0,1)$ בהתפלגות..

זה מראה שאם $k_{n}$ קטן ביחס ל$n$, אז ההשפעה של התלות זניחה יחסית.

יישומים נוספים

מלבד דרך להוכת התכנסות בהתפלגות של משתנים מקרים, ויישום בתורת הדגימה, שיטה משמשת כדרך נוספת להוכחת משפט הגבול המרכזי. כמוכן, לשיטה יישומים בתורת המספרים בהוכחת משפט משפט ארדש-כץ .

לקריאה נוספת

• Moment problem
• Lin, G.D. Recent developments on the moment problem. J Stat Distrib App 4, 5 (2017). https://doi.org/10.1186/s40488-017-0059-2