טיוטה:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

באלגברה ליניארית, וקטור עצמי או וקטור מאפיין הוא וקטור שכיוונו לא משתנה (או שכיוונו נהיה הפוך) לאחר החלת טרנספורמציה ליניארית נתונה. ליתר דיוק, וקטור עצמי, $\mathbf {v}$ , של טרנספורמציה ליניארית, $T$ , משתנה לפי גורם קבוע, $\lambda$ , כאשר השינוי הליניארי מוחל עליו: $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ . הערך העצמי המתאים, הערך המאפיין או השורש המאפיין הוא גורם הכפל $\lambda$ (שייתכן והוא שלילי).

מבחינה גאומטרית, וקטורים הם גדלים רב -ממדיים עם גודל וכיוון, המוצגים לעיתים קרובות כחצים. טרנספורמציה ליניארית מסובבת, מותחת או גוזרת את הווקטורים שעליהם היא פועלת. הווקטורים העצמיים של הטרנספורמציה הם אותם וקטורים שנמתחים רק, ללא סיבוב או גזירה. הערך העצמי המתאים הוא המקדם שבאמצעותו הווקטור העצמי נמתח. אם הערך העצמי שלילי, כיוון הווקטור העצמי הפוך. ^[1]

הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים של טרנספורמציה ליניארית משמשים לאפיין אותה, ולכן הם ממלאים תפקידים חשובים בכל התחומים שבהם מיושמת אלגברה ליניארית, מגאולוגיה ועד מכניקת הקוונטים. בפרט, לעיתים קרובות קורה שמערכת כלשהי מיוצגת על ידי טרנספורמציה ליניארית שהתוצאות שהיא הפיקה הוזנו שוב פעם לאותה טרנספורמציה (משוב). במקרה כזה, אל הערך העצמי הגדול ביותר ישנה חשיבות מיוחדת, מכיוון שהוא שולט בהתנהגות ארוכת הטווח של המערכת לאחר החלות רבות של הטרנספורמציה הליניארית, והווקטור העצמי המשויך הוא המצב היציב של המערכת.

הַגדָרָה

יהי מטריצה ריבועית A $n{\times }n$ ווקטור שאינו אפס $\mathbf {v}$ השייך ל $F^{n}$ . אם מכפילים את $A$ עם $\mathbf {v}$ (מסומן על ידי $A\mathbf {v}$ ) והתוצאה היא $\mathbf {v}$ כפול סקלר כלשהו $λ$ השייך לשדה הנתון. $\mathbf {v}$ יקרא הווקטור העצמי של A. ו- $λ$ יקרא הערך העצמי המתאים ל $\mathbf {v}$ . קשר זה יכול להתבטא כך: $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ . ^[2]

קיימת פונקציה חח"ע ועל ישירה בין מטריצות ריבועיות מגודל n לבין טרנספורמציות ליניאריות ממרחב וקטורי n - ממדי לתוך עצמו (הם איזומורפיזמים אחד לשני), בינתן כל בסיס של המרחב הווקטורי. לפיכך, במרחב וקטורי סופי, שווה ערך להגדיר וקטורים עצמיים וערכים עצמיים באמצעות שפת המטריצות או שפת טרנספורמציות ליניאריות. ^[3] ^[4]

סקירה כללית

במהותו, וקטור עצמי v של טרנספורמציה ליניארית T הוא וקטור שאינו אפס שכאשר T מוחל עליו, אינו משנה כיוון. החלת T על הווקטור העצמי רק משנה את אורכו של הווקטור העצמי במכפלת הערך הסקלרי λ, הנקרא הערך העצמי. תנאי זה יכול להיכתב כמשוואה $T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$ באופן כללי, λ עשוי להיות כל סקלר. לדוגמה, λ עשוי להיות שלילי, ובמקרה זה הווקטור העצמי הופך את כיוונו, או שהוא יכול להיות אפס או מרוכב במקרים מסוימים.

קבוצת כל הווקטורים העצמיים של טרנספורמציה ליניארית, כל אחד בזוג סדור עם הערך העצמי המתאים לו, נקראת המערכת העצמית של אותה טרנספורמציה. ^[5] ^[6]
קבוצת כל הווקטורים העצמיים של T המשויכים לאותו ערך עצמי, יחד עם וקטור האפס, נקראת המרחב עצמי, או המרחב האופייני של T השייך לאותו ערך עצמי. ^[7]
אם קבוצה של וקטורים עצמיים של T מהווה בסיס לתחום של T, אז הבסיס הזה נקרא בסיס עצמי .

הִיסטוֹרִיָה

ערכים עצמיים מוצגים לעיתים קרובות בהקשר של אלגברה ליניארית או תורת המטריצות. היסטורית, לעומת זאת, הם התעוררו בחקר צורות ריבועיות ומשוואות דיפרנציאליות .

במאה ה-18, לאונרד אוילר חקר את התנועה הסיבובית של גוף קשיח, וגילה את חשיבותו של מומנט האינרציה . [a] יוסף-לואי לגראנז' הבין שמומנט האינרציה הוא הווקטור העצמי של מטריצת האינרציה. ^[8]

בתחילת המאה ה-19, אוגוסטין-לואי קושי ^[9] טבע את המונח racine caractéristique (שורש אופייני), דרך אחרת לתאר את מה שנקרא כיום הערך העצמי ; המונח בא לידי ביטוי בפולינום האופייני .

מאוחר יותר, ג'וזף פורייה השתמש בעבודתם של לגרנז' ופייר-סימון לפלס כדי לפתור את משוואת החום על ידי הפרדת משתנים בעבודתו משנת 1822 The Analytic Theory of Heat (Théorie analytique de la chaleur) . ^[10]

שארל-פרנסואה שטורם הרחיב יותר את רעיונותיו של פורייה, והביא אותם לידיעתו של קושי, ששילב אותם עם רעיונותיו שלו והגיע לעובדה שלמטריצות סימטריות ממשיות יש ערכים עצמיים ממשיים.^[9] צ'ארלס הרמיט הרחיב זאת עוד יותר ב-1855 וטבע את המונח מטריצות הרמיטיות . ^[11]

בערך באותו זמן, פרנצ'סקו בריוש'י הוכיח שהערכים העצמיים של מטריצות אורתוגונליות נמצאים על מעגל היחידה, ^[9] ואלפרד קלבש מצא את התוצאה המקבילה למטריצות אנטי סימטריות . ^[11] לבסוף, קארל ויירשטראס האיר שבתורת היציבות^[אנ'] שפיתח לאפלס, מטריצות פגומות עלולות לגרום לאי יציבות. ^[9]

בינתיים, ג'וזף ליווויל חקר בעיות של ערכים עצמיים הדומים לאלו של שטורם; הדיסציפלינה שצמחה מעבודתם נקראת כיום תאוריית שטורם-ליוביל . ^[12] שוורץ חקר את הערך העצמי הראשון של משוואת לפלס על תחומים כלליים לקראת סוף המאה ה-19, בעוד שפואנקרה חקר את משוואת פואסון כמה שנים מאוחר יותר. ^[13]

בתחילת המאה ה-20, דייוויד הילברט חקר את הערכים העצמיים של אופרטורים אינטגרלים על ידי השמת האופרטורים כמטריצות אינסופיות. ^[14] הוא היה הראשון בשנת 1904, שהשתמש במילה הגרמנית eigen, שפירושה "של עצמו",^[15] לציון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. במשך זמן מה, המונח הסטנדרטי באנגלית היה "proper value", אך המונח הברור יותר "eigenvalue" הוא הסטנדרט כיום. ^[16]

ראו גם

ערך עצמי
וקטור עצמי
מפעיל עצמי
אלגוריתם ערך עצמי
מצבים קוונטיים
צורת ז'ורדן
רשימה של תוכנות לניתוח מספרי
ערך עצמי נורמלי
ערך סינגולרי
ספקטרום של מטריצה

לקריאה נוספת

Golub, Gene F.; van der Vorst, Henk A. (2000), "Eigenvalue Computation in the 20th Century" (PDF), Journal of Computational and Applied Mathematics, 123 (1–2): 35–65, Bibcode:2000JCoAM.123...35G, doi:10.1016/S0377-0427(00)00413-1, hdl:1874/2663
Hill, Roger (2009). "λ – Eigenvalues". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
Kuttler, Kenneth (2017), An introduction to linear algebra (PDF), Brigham Young University
Strang, Gilbert (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-5-5
Strang, Gilbert (2006), Linear algebra and its applications, Belmont, CA: Thomson, Brooks/Cole, ISBN 0-03-010567-6

^ Burden & Faires 1993, p. 401.
^ Gilbert Strang. "6: Eigenvalues and Eigenvectors". Introduction to Linear Algebra (PDF) (5 ed.). Wellesley-Cambridge Press.
^ Herstein 1964, pp. 228, 229.
^ Nering 1970, p. 38.
^ Press et al. 2007, p. 536.
^ Wolfram.com: Eigenvector.
^ Nering 1970, p. 107.
^ Hawkins 1975, §2.
^ ¹ ² ³ ⁴ Hawkins 1975, §3.
^ Kline 1972, p. 673.
^ ¹ ² Kline 1972, pp. 807–808.
^ Kline 1972, pp. 715–716.
^ Kline 1972, pp. 706–707.
^ Kline 1972, p. 1063, p..
^ "Eigenvector and Eigenvalue". www.mathsisfun.com. נבדק ב-2020-08-19.
^ Aldrich 2006.

[FOOTNOTEBurdenFaires1993401-1] Burden & Faires 1993, p. 401.

[2] Gilbert Strang. "6: Eigenvalues and Eigenvectors". Introduction to Linear Algebra (PDF) (5 ed.). Wellesley-Cambridge Press.

[FOOTNOTEHerstein1964228,_229-3] Herstein 1964, pp. 228, 229.

[FOOTNOTENering197038-4] Nering 1970, p. 38.

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery2007536-5] Press et al. 2007, p. 536.

[FOOTNOTEWolfram.com:_Eigenvector-6] Wolfram.com: Eigenvector.

[FOOTNOTENering1970107-7] Nering 1970, p. 107.

[FOOTNOTEHawkins1975§2-8] Hawkins 1975, §2.

[FOOTNOTEHawkins1975§3-9] ¹ ² ³ ⁴ Hawkins 1975, §3.

[FOOTNOTEKline1972p._673-10] Kline 1972, p. 673.

[FOOTNOTEKline1972pp._807–808-11] ¹ ² Kline 1972, pp. 807–808.

[FOOTNOTEKline1972pp._715–716-12] Kline 1972, pp. 715–716.

[FOOTNOTEKline1972pp._706–707-13] Kline 1972, pp. 706–707.

[FOOTNOTEKline19721063p.-14] Kline 1972, p. 1063, p..

[:0-15] "Eigenvector and Eigenvalue". www.mathsisfun.com. נבדק ב-2020-08-19.

[FOOTNOTEAldrich2006-16] Aldrich 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]