טיוטה:נקודות קריטיות

הנקודות האדומות הן נקודות קיצון מקומיות; הריבועים הכחולים הם נקודות פיתול.

נקודה קריטית (לעיתים גם נקודה חשודה) היא מונח רחב המשמש בענפים רבים של מתמטיקה. ערך הפונקציה בנקודה קריטית נקרא ערך קריטי.

כאשר עוסקים בפונקציות של משתנה ממשי, נקודה קריטית היא נקודה בתחום הפונקציה בה הפונקציה אינה גזירה או שהנגזרת שווה לאפס. כאשר עוסקים במשתנים מורכבים, נקודה קריטית היא נקודה בתחום הפונקציה שבה היא איננה הולומורפית או שהנגזרת שלה שווה לאפס. באופן דומה, עבור פונקציה של מספר משתנים ממשיים, נקודה קריטית היא ערך בתחום בו הגרדיאנט אינו מוגדר או שווה לאפס.

הרעיון של נקודה קריטית מאפשר תיאור מתמטי של תופעה אסטרונומית שלא הוסברה לפני זמנו של קופרניקוס. נקודה נייחת במסלול כוכב לכת היא נקודת מסלול הכוכב על הכדור השמימי, שם נראה כי תנועת הכוכב נעצרת לפני שתתחיל שוב לכיוון השני. זה מתרחש בגלל נקודה קריטית של הקרנת המסלול למעגל האֶקְלִיפְּטִי.

נקודה קריטית של פונקציה של משתנה יחיד

• נקודה קריטית של פונקציה עם משתנה ממשי $f(x)$ היא ערך $x_{0}$ בתחום של $f$ שבו היא לא גזירה או שהנגזרת שלה שווה שם ל-$0$, כלומר $f'(x_{0})=0$.
• ערך קריטי הוא התמונה של $f$ בנקודה קריטית.

בעבור פונקציה גזירה, נקודה קריטית זהה לנקודה נייחת. עבור פונקציה גזירה, נקודה קריטית זהה לנקודה נייחת.

ניתן להמחיש מושגים אלה באמצעות גרף של $f$. בנקודה קריטית, לגרף יש משיק אופקי. אף על פי שניתן להמחיש זאת בקלות באמצעות גרף (שהוא עקומה), אין להתבלבל בין הרעיון של נקודה קריטית של פונקציה לבין הרעיון של נקודה קריטית של עקומה.

אם $g(x,y)$ היא פונקציה גזירה של שני משתנים, אז $g(x,y)=0$ הוא המשוואה הסתומה של העקומה.

נקודה קריטית של עקומה כזו, עבור ההטלה המקבילה לציר ה-$y$, ההעתקה $(x,y)\to x)$, היא נקודה של העקומה שבה ${\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0$.

משמעות הדבר היא כי המשיק של העקומה מקביל לציר ה-$y$, וכי בנקודה זו $g$ אינה מגדירה פונקציה סתומה מ-$x$ ל-$y$ (משפט הפונקציות הסתומות).

אם $(x_{0},y_{0})$ היא נקודה קריטית כזו, אז $x_{0}$ הוא הערך הקריטי המתאים.

מההגדרות הללו עולה כי לפונקציה המבדלה $f(x)$ יש נקודה קריטית $x_{0}$ עם ערך קריטי $y_{0}$, אם ורק אם $(x_{0},y_{0})$ היא נקודה קריטית של הגרף שלה עבור ההקרנה המקבילה ל-$x$ מזה, עם אותו ערך קריטי $y_{0}$.

אם $f$ אינו לגזירה להבחנה ב-$x_{0}$ כי המנגן הופך מקביל לציר ה-$y$, אז $x_{0}$ הוא שוב נקודה קריטית של $f$, אך כעת $(x_{0},y_{0})$ הוא נקודה קריטית בגרף שלו להקרנה במקביל לציר ה-$y$.

לדוגמה, הנקודות הקריטיות של מעגל היחידה של המשוואה $x^{2}+y^{2}-1=0$ הן $(0,1)$ ו-$(0,-1)$ עבור ההקרנה המקבילה לציר ה-$x$, ו- $(0,1)$ ו- $(0,-1)$ לכיוון המקביל לציר ה-$y$.

אם רואים את העיגול החצי העליון כגרף הפונקציה $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$, אז $x=0$ הוא נקודה קריטית עם ערך קריטי $1$ מפני שהנגזרת שווה ל-$0$, ו-$x=-1$ ו-$x=1$ הם נקודות קריטיות עם ערך קריטי $0$ כי הנגזרת אינה מוגדרת.

דוגמאות

• הפונקציה $f(x)=x^{2}+2x+3$ גזירה בכל נקודה ונגזרתה $f'(x)=2x+2$. לפונקציה זו נקודה קריטית ייחודית ב-$-1$, מכיוון שהיא המספר הייחודי $x_{0}$ עבורו $2x_{0}+2=0$. נקודה זו היא המינימום הגלובלי של $f$. הערך הקריטי המתאים הוא $f(-1)=2$. הגרף של $f$ הוא פרבולה קעורה כלפי מעלה, הנקודה הקריטית היא שיעור ה-$x$ של הקודקוד, שם קו המשיק אופקי, והערך הקריטי הוא מסדר הקודקוד ויכול להיות מיוצג על ידי הצומת של קו המשיק הזה והקו לציר ה-$y$.
• הפונקציה $f(x)=x^{\frac {2}{3}}$ מוגדרת עבור כל $x$ ומיוחדת ל- $x\neq 0$, עם הנגזרת $f'\left(x\right)={\frac {2}{3}}x^{-{\frac {1}{3}}}$. מכיוון ש-$f$ אינה גזירה ב-$x=0$ וגם $f'(x)\neq 0$ אחרת, זו הנקודה הקריטית הייחודית. לגרף הפונקציה $f$ יש השקה בנקודה זו עם משיק אנכי. הערך הקריטי המתאים הוא $f(0)=0$.
• פונקציית הערך המוחלט $f(x)=|x|$ ניתן לגזירה בכל מקום למעט בנקודה הקריטית $x=0$, שם יש לה נקודת מינימום גלובלית, עם ערך קריטי $0$.
• לפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ אין נקודות קריטיות. הנקודה $x=0$ אינה נקודה קריטית מכיוון שהיא אינה כלולה בתחום הפונקציה.

מיקום נקודות קריטיות

על פי משפט גאוס-לוקאס, כל הנקודות הקריטיות של פונקציה פולינומית במישור המורכב נמצאות בתוך הקליפה הקמורה של שורשי הפונקציה. לפיכך, עבור פונקציה פולינומית עם שורשים אמיתיים בלבד, כל הנקודות הקריטיות הן אמיתיות והן בין השורשים הגדולים והקטנים ביותר.

ההשערה של סנדוב טוענת שאם כל שורשי הפונקציה טמונים בדיסק היחידה במישור המורכב, יש לפחות נקודה קריטית אחת במרחק יחידה מכל שורש נתון.