הערך נמצא בשלבי עבודה במסגרת מיזם "
עבודות ויקידמיות ". נא לא לערוך ערך זה עד להסרת התבנית. הערות לערך נא להוסיף בדף השיחה.
העבודה על הערך עתידה להסתיים בתאריך 1 אוקטובר 2024 . ניתן להסיר את התבנית משחלפו שלושה שבועות מן התאריך הנקוב.
הערך נמצא בשלבי עבודה במסגרת מיזם "עבודות ויקידמיות ". נא לא לערוך ערך זה עד להסרת התבנית. הערות לערך נא להוסיף בדף השיחה.
העבודה על הערך עתידה להסתיים בתאריך 1 אוקטובר 2024 . ניתן להסיר את התבנית משחלפו שלושה שבועות מן התאריך הנקוב.
שיחה
התפלגות מרצ'נקו פסטור
פונקציית צפיפות ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים
σ
{\displaystyle \sigma }
סטיית תקן ערכי המטריצה,
λ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}
תומך
x
∈
[
λ
−
,
λ
+
]
{\displaystyle x\in [\lambda ^{-},\lambda ^{+}]\!}
λ
−
=
σ
2
(
1
−
λ
)
2
,
λ
+
=
σ
2
(
1
+
λ
)
2
{\displaystyle \lambda ^{-}=\sigma ^{2}(1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\lambda ^{+}=\sigma ^{2}(1+{\sqrt {\lambda }})^{2}}
פונקציית צפיפות הסתברות
(
1
−
1
λ
)
+
δ
0
+
(
λ
+
−
x
)
(
x
−
λ
−
)
2
π
σ
2
λ
x
1
[
λ
−
,
λ
+
]
(
x
)
d
x
{\displaystyle (1-{\frac {1}{\lambda }})_{+}\delta _{0}+{\frac {\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx\!}
תוחלת
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
שונות
σ
4
λ
{\displaystyle \sigma ^{4}\lambda }
התפלגות מרצ'נקו פסטור (אנ' ) היא פונקציית התפלגות מתחום המטריצות האקראיות . השימוש העיקרי בה הוא תיאור ההתנהגות האסימפטוטית של ערכים עצמיים של מטריצות, עבור כאלו שערכיהן ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות.
ההתפלגות (שלעתים נקראת גם חוק מרצ'נקו-פסטור) קרויה על שם צמד המתמטיקאים הסובייטים וולודימיר מרצ'נקו וליאוניד פסטור שהוכיחו אותה בשנת 1967.
תהי
X
{\displaystyle X}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
E
[
X
i
j
]
=
0
{\displaystyle E[X_{ij}]=0}
E
[
X
i
j
2
]
=
σ
2
<
∞
{\displaystyle E[X_{ij}^{2}]=\sigma ^{2}<\infty }
m
,
n
→
∞
{\displaystyle m,n\rightarrow \infty }
m
n
→
λ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle {\frac {m}{n}}\rightarrow \lambda \in (0,\infty )}
λ
−
=
σ
2
(
1
−
λ
)
2
,
λ
+
=
σ
2
(
1
+
λ
)
2
{\displaystyle \lambda ^{-}=\sigma ^{2}(1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\lambda ^{+}=\sigma ^{2}(1+{\sqrt {\lambda }})^{2}}
נסמן
Y
=
1
n
X
X
T
{\displaystyle Y={\frac {1}{n}}XX^{T}}
Y
{\displaystyle Y}
מטריצה חיובית ויהיו
λ
1
,
.
.
.
,
λ
m
{\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{m}}
μ
m
{\displaystyle \mu _{m}}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
μ
H
(
A
)
=
1
n
#
{
eigenvalues of
H
in
A
}
,
A
⊂
R
.
{\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .}
μ
H
(
A
)
=
1
n
∑
i
δ
λ
i
{\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}}
דוגמה: בכחול היסטוגרמת ערכים עצמיים של
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
10000
×
5000
{\displaystyle 10000\times 5000}
λ
=
0.5
{\displaystyle \lambda =0.5}
כאשר תנאי המשפט מתקיימים, הפונקצייה
μ
m
{\displaystyle \mu _{m}}
μ
m
→
μ
{\displaystyle \mu _{m}\rightarrow \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
במקרה זה מתקיים כי המטריצה
Y
{\displaystyle Y}
μ
{\displaystyle \mu }
d
μ
(
x
)
=
1
2
π
σ
2
λ
x
(
λ
+
−
x
)
(
x
−
λ
−
)
1
[
λ
−
,
λ
+
]
(
x
)
d
x
{\displaystyle d\mu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}{\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx}
דוגמה: בכחול היסטוגרמת ערכים עצמיים של
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
2000
×
3000
{\displaystyle 2000\times 3000}
λ
=
1.5
{\displaystyle \lambda =1.5}
במקרה זה למטריצה
Y
{\displaystyle Y}
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
λ
≤
1
{\displaystyle \lambda \leq 1}
(
1
−
1
λ
)
δ
0
{\displaystyle (1-{\frac {1}{\lambda }})\delta _{0}}
δ
0
{\displaystyle \delta _{0}}
פונקציית דלתא , כך שבמקרה זה הפונקצייה
μ
{\displaystyle \mu }
d
μ
(
x
)
=
(
1
−
1
λ
)
δ
0
+
1
2
π
σ
2
λ
x
(
λ
+
−
x
)
(
x
−
λ
−
)
1
[
λ
−
,
λ
+
]
(
x
)
d
x
{\displaystyle d\mu (x)=(1-{\frac {1}{\lambda }})\delta _{0}+{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}{\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx}
לעיתים מקובל לחבר את שני המקרים לביטוי אחד באופן הבא:
מגדירים את הפונקצייה
(
x
)
+
=
m
a
x
(
x
,
0
)
{\displaystyle (x)_{+}=max(x,0)}
(
1
−
1
λ
)
+
δ
0
{\displaystyle (1-{\frac {1}{\lambda }})_{+}\delta _{0}}
במקרה זה מתקיים
λ
−
=
0
,
λ
+
=
4
{\displaystyle \lambda ^{-}=0,\lambda ^{+}=4}
d
μ
(
x
)
=
1
2
π
x
(
4
−
x
)
x
1
[
0
,
4
]
(
x
)
d
x
{\displaystyle d\mu (x)={\frac {1}{2\pi x}}{\sqrt {(4-x)x}}1_{[0,4]}(x)dx}
עבור החלפת המשתנים
x
=
u
2
,
d
x
=
2
u
d
u
{\displaystyle x=u^{2},dx=2udu}
d
μ
(
u
)
=
1
2
π
u
2
(
4
−
u
2
)
u
2
1
[
0
,
2
]
(
u
)
∗
2
u
d
u
=
1
π
(
4
−
u
2
)
1
[
0
,
2
]
(
u
)
d
u
{\displaystyle d\mu (u)={\frac {1}{2\pi u^{2}}}{\sqrt {(4-u^{2})u^{2}}}1_{[0,2]}(u)*2udu={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {(4-u^{2})}}1_{[0,2]}(u)du}
התפלגות זו נקראת גם "חוק רבע המעגל". ניתן לשים לב לדימיון הרב בין ביטוי זה להתפלגות חצי המעגל של ויגנר .
עבור
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
k
{\displaystyle k}
∑
r
=
0
k
−
1
σ
2
k
r
+
1
(
k
r
)
(
k
−
1
r
)
λ
r
=
σ
2
k
k
∑
r
=
0
k
−
1
(
k
r
)
(
k
r
+
1
)
λ
r
{\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}}
מהצבה של
k
=
1
{\displaystyle k=1}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
σ
4
λ
{\displaystyle \sigma ^{4}\lambda }
אחת הדרכים להוכחת המשפט עושה שימוש במומנטים של הפונקצייה. מכיוון שהתומך של
μ
{\displaystyle \mu }
∫
x
k
d
μ
=
σ
2
k
k
∑
r
=
0
k
−
1
(
k
r
)
(
k
r
+
1
)
λ
r
{\displaystyle \int x^{k}d\mu ={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}}
המשפט מוכח באמצעות שימוש בלמה של בורל-קנטלי , בכך שמוכיחים כי
E
[
∫
x
k
d
μ
m
]
→
∫
x
k
d
μ
{\displaystyle \mathbb {E} [\int x^{k}d\mu _{m}]\rightarrow \int x^{k}d\mu }
וגם
V
a
r
(
∫
x
k
d
μ
m
)
≤
C
k
n
2
{\displaystyle Var(\int x^{k}d\mu _{m})\leq {\frac {C_{k}}{n^{2}}}}
טרנספורמציית סטילטייס של ההתפלגות נתונה על ידי הפונקצייה:
s
(
z
)
=
σ
2
(
1
−
λ
)
−
z
+
(
z
−
σ
2
(
λ
+
1
)
)
2
−
4
λ
σ
4
2
λ
z
σ
2
{\displaystyle s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda )-z+{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}}
עבור z מספר מרוכב בעל ערך מדומה אי-שלילי, וכאשר השורש הריבועי נלקח גם כן להיות בעל ערך מדומה אי-שלילי.
פונקצייה זו היא פיתרון למשוואה הריבועית
λ
σ
2
z
s
(
z
)
2
+
[
z
+
σ
2
(
λ
+
1
)
]
s
(
z
)
+
1
=
0
{\displaystyle \lambda \sigma ^{2}zs(z)^{2}+[z+\sigma ^{2}(\lambda +1)]s(z)+1=0}
טרנספורמציית סטילטייס משמשת גישה נוספת להוכחה של המשפט באופן הבא:
תחילה מראים כי הטרנספורמציה של
μ
m
{\displaystyle \mu _{m}}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
g
(
z
)
−
E
[
g
(
z
)
]
→
0
,
m
→
∞
{\displaystyle g(z)-\mathbb {E} [g(z)]\rightarrow 0,m\rightarrow \infty }
בנוסף, יש להראות כי פונקציה זו פותרת את המשווה:
λ
σ
2
z
g
(
z
)
2
+
[
z
+
σ
2
(
λ
+
1
)
]
g
(
z
)
+
1
=
ϵ
m
{\displaystyle \lambda \sigma ^{2}zg(z)^{2}+[z+\sigma ^{2}(\lambda +1)]g(z)+1=\epsilon _{m}}
כאשר
ϵ
m
→
0
{\displaystyle \epsilon _{m}\rightarrow 0}
m
→
∞
{\displaystyle m\rightarrow \infty }
דוגמה: בכחול היסטוגרמת ערכים עצמיים של
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
2000
×
1000
{\displaystyle 2000\times 1000}
λ
=
0.5
{\displaystyle \lambda =0.5}
מודל spiked covariance דוגמה לשימוש בהתפלגות מרצ'נקו פסטור היא במודל spiked covariance. כאשר עובדים עם מטריצה שערכיה רועשים, ניתן לעיתים להניח כי הרעש מבוטא כמטריצה שערכיה הם שווי התפלגות ובלתי תלויים, ולכן ערכיה העצמיים מתפלגים לפי מרצ'נקו פסטור.
כעת מוסיפים למטריצת הרעש את המטריצה המקורית, מקבלים שערכיה העצמיים של המטריצה המקורית לא השתנו בהרבה, ולכן אם הם נמצאים מחוץ לתומך של מרצ'נקו פסטור ניתן יהיה לזהות אותם מבין הערכים העצמיים של המטריצה החדשה. בנוסף ניתן יהיה לשחזר בקירוב את הערך העצמי המקורי ואת הוקטור העצמי המתאים לו.
דרך זו היא דוגמה הפחתת רעשים (אנ' ) בעזרת מרצ'נקו פסטור.
ניתן להעזר במרצ'נקו פסטור בשימוש ב-PCA . השימוש בהתפלגות עוזר למצוא את הרכיבים העיקריים שיעזרו לאפיין את הסיגנל המקורי, ולהפריד אותם מרכיבים אחרים שככל הנראה מאפיינים רעש. בדרך זו אפשר לחשוב על קצה התומך הימני של ההתפלגות בתור "סף" אשר קובע באילו ערכים עצמיים (או באופן שקול רכיבים עיקריים) נשתמש ובאילו לא.
מלבד הפחתת רעשים, השילוב בטכניקה זו עוזר גם בכיווץ, ובהבנה טובה יותר של המידע, והוא נפוץ במגוון תחומים, ביניהם: רפואה , גנומיקה וביואינפורמטיקה , ניתוח טכני , כיווץ תמונות וסרטונים, אסטרונומיה , ועוד.
![{\displaystyle x\in [\lambda ^{-},\lambda ^{+}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7239d30ede9a346137472b53072045598a8b249d)
![{\displaystyle (1-{\frac {1}{\lambda }})_{+}\delta _{0}+{\frac {\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7817feb01e88fa0da70962fe1f159b4177fbc18)
![{\displaystyle E[X_{ij}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742ac917f956e859e3fcd6c401bbebc693c03cfc)
![{\displaystyle E[X_{ij}^{2}]=\sigma ^{2}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faaf60f4de930f1a7a5077212c60f86234eff45)
![{\displaystyle d\mu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}{\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2791637dd3a4d2d65f4caa9f57573ee152d3c716)
![{\displaystyle d\mu (x)=(1-{\frac {1}{\lambda }})\delta _{0}+{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}\lambda x}}{\sqrt {(\lambda ^{+}-x)(x-\lambda ^{-})}}1_{[\lambda ^{-},\lambda ^{+}]}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f4e8ce8d10587ed507da73a860c01ba1de0490)
![{\displaystyle d\mu (x)={\frac {1}{2\pi x}}{\sqrt {(4-x)x}}1_{[0,4]}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a65ba9fa526c44832d538bf89330429df07729)
![{\displaystyle d\mu (u)={\frac {1}{2\pi u^{2}}}{\sqrt {(4-u^{2})u^{2}}}1_{[0,2]}(u)*2udu={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {(4-u^{2})}}1_{[0,2]}(u)du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2673b9cbc88431a7deaff4acdb28f699c78ed1)
![{\displaystyle \mathbb {E} [\int x^{k}d\mu _{m}]\rightarrow \int x^{k}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a723ffb6dd24d5d738585dbc2262225f0bf0e77e)
![{\displaystyle \lambda \sigma ^{2}zs(z)^{2}+[z+\sigma ^{2}(\lambda +1)]s(z)+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365aefc5bc1cb81699b79135172ec186a8d87e60)
![{\displaystyle g(z)-\mathbb {E} [g(z)]\rightarrow 0,m\rightarrow \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cef0a19acea3c4ae88b6513ca9a7764a3263f53)
![{\displaystyle \lambda \sigma ^{2}zg(z)^{2}+[z+\sigma ^{2}(\lambda +1)]g(z)+1=\epsilon _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4997ff2f304fc196162b09ae47706e549afecefb)
ערכים מורחבים – מודל spiked covariance 