זרימה פוטנציאלית מסביב לגליל

זרימה פוטנציאלית מסביב לגליל.

במכניקת הזורמים, זרימה פוטנציאלית מסביב לגליל היא פתרון קלאסי לזרימה של זורם בלתי צמיג ובלתי דחיס מסביב לגליל שצירו ניצב לכיוון הזרימה. רחוק מהגליל, הזרימה היא חד-כיוונית ואחידה. הזרימה היא נטולת ערבוליות ולכן שדה המהירות הוא אי-רוטציוני וניתן למידול כזרימה פוטנציאלית. שלא כמו במקרה של זורם אמיתי, הפתרון הזה מעיד על גרר כולל אפס שפועל על הגוף, תוצאה שידועה כפרדוקס ד'אלמבר.

במתמטיקה, המקרה הוא דוגמה חשובה לבעיה של מציאת פונקציה הרמונית בכל המרחב אשר לה תנאי שפה מסוימים על פני הגליל.

פתרון מתמטי

באיור הצבעים השונים מייצגים את חוזק הלחץ. אדום מייצג לחץ גבוה וכחול מייצג לחץ נמוך. החצים מייצגים את ווקטורי המהירות.

הבעיה עוסקת במקרה של גליל (או החתך הדו־ממדי שלו) בעל רדיוס $R$ המוצב בזרימה דו-ממדית, בלתי דחיסה ובלתי צמיגה. המטרה היא למצוא את ווקטור המהירות היציב ${\vec {V}}$ והלחץ $p$ במישור, תחת ההנחה שרחוק מהגליל ווקטור המהירות הוא:

${\vec {V}}=U{\widehat {i}}+0{\widehat {j}},$

כאשר $U$ הוא קבוע, ושבגבולות הגליל מתקיים:

${\vec {V}}\cdot {\widehat {n}}=0,$

כאשר ${\widehat {n}}$ הוא ווקטור הנורמל לפני הגליל. הזרימה היא אחידה ואין לה ערבוליות. הזרימה היא בלתי צמיגה, בלתי דחיסה ויש לה צפיפות מסה קבועה $\rho$. הזרימה על כן היא ללא ערבוליות, ונקראת אירוטציונית, ומתקיים:

$\nabla \times {\vec {V}}=0$ בכל מקום. כיוון שהזרימה אי-רוציונית, קיים פוטנציאל מהירות $\phi$:

${\vec {V}}=\nabla \phi$

כיוון שהזרימה בלתי דחיסה, $\nabla \cdot {\vec {V}}=0$, ולכן $\phi$ חייב לקיים בכל מקום את משוואת לפלס:

$\nabla ^{2}\phi =0.$

הפתרון ל-$\phi$ נקבע באופן מיטבי בקואורדינטות פולריות $r$ ו-$\theta$, המקושרות לקואורדינטות קרטזיות דרך הקשרים $x=r\cos \theta$ ו-$y=r\sin \theta$. בקואורדינטות פולריות, משוואת לפלס מקבלת את הצורה:

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial \phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}\phi \over \partial \theta ^{2}}=0$

הפתרון שמקיים את תנאי השפה הוא מהצורה:

$\phi =U\left(r+{\frac {R^{2}}{r}}\right)\cos \theta$

ולכן:

$V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta$

ו-:

$V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta .$

כיוון שהזרימה בלתי-צמיגה ואי רוטציונית, משוואת ברנולי מאפשרת לחשב את הפתרון ללחץ ישירות מהפתרון לשדה המהירות:

$p={\frac {1}{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\right)+p_{\infty },$

כאשר הקבועים $U$ ו-$p_{\infty }$ מוגדרים כך ש- $p\rightarrow p_{\infty }$ רחוק מהגליל, ו-$V=U$.

באמצעות הקשר:

$V^{2}=V_{r}^{2}+V_{\theta }^{2},$

נקבל:

$p={\frac {1}{2}}\rho U^{2}\left(2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)+p_{\infty }.$

באיורים, השדה הצבוע שקראנו לו "לחץ" הוא תיאור גרפי של:

$2{\frac {p-p_{\infty }}{\rho U^{2}}}=2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}.$

על פני הגליל, או כאשר $r=R$, הלחץ נע בין ערך מרבי של 1 (צבע אדום) בנקודות הסטגנציה ב-$\theta =0$ ו-$\theta =\pi$ לערך מינימלי של 3- (בסגול) על צידי הגליל, ב-$\theta ={\tfrac {1}{2}}\pi$ ו-$\theta ={\tfrac {3}{2}}\pi .$. באופן דומה, $V$ מ-V=0 בנקודות הסטגנציה ל-$V=2U$ בצדדים, באזור של הלחץ הנמוך.

פרשנות פיזיקלית

משוואת לפלס היא ליניארית, והיא אחת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות האלמנטריות ביותר. משוואה פשוטה זאת מניבה את הפתרון המלא בעבור ${\vec {V}}$ ו- $p$ בגלל האילוצים של אירוטציוניות ואי דחיסות. לאחר שהשגנו את הפתרונות ל-${\vec {V}}$ ו-$p$, ניתן לראות בבירור את העקביות של ההתאמה בין גרדיאנט הלחץ לאזורים של האצה.

ללחץ הדינמי בנקודת הסטגנציה הראשונה יש ערך של $\rho U^{2}/2,$, ערך שנדרש כדי להאט למהירות אפס את הזרימה שמגיעה במהירות $U$. אותו ערך של לחץ מופיע גם בנקודת הסטגנציה השנייה, וזה אודות לסימטריה של שדה המהירות. הסימטריה היא אך ורק אודות לעובדה שהזרימה היא חסרת חיכוך לחלוטין.

הלחץ הנמוך בצידי הגליל נדרש כדי לספק את התאוצה הצנטריפטלית של הזרימה:

${\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho V^{2}}{L}},$

כאשר $L$ הוא רדיוס העקמומיות של הזרימה. אולם $L\approx R,$ ו-$V\approx U$, לכן האינטגרל של המשוואה לתאוצה צנטריפטלית יניב תוצאה ללחץ שערכה:

$p-p_{\infty }\approx -\rho U^{2}$

הפתרון המדויק ללחץ הנמוך ביותר הוא:

$p-p_{\infty }=-{\frac {3}{2}}\rho U^{2}$

הלחץ הנמוך, שחייב להיות נוכח כדי לספק תאוצה צנטריפטלית פנימה, יגביר גם את מהירות הזרימה כאשר הזורם נע מאזורים של לחץ גבוה לאזורים של לחץ נמוך יותר. לכן מוצאים איפוא את המהירות המקסימלית של הזורם, $V=2U$, באזורים של הלחץ הנמוך בשני צידי הגליל.

העובדה ש-$V>U$ עקבית עם שימור המסה של הזורם (עקרון הרציפות). כיוון שהגליל חוסם חלק מהזרימה, $V$ חייבת להיות גדולה יותר מ-$U$ איפשהו במישור שמכיל את ציר הגליל וניצב לזרימה על מנת שהספיקה דרך חתכים מקבילים תהיה זהה.

זרימה הכוללת סירקולציה

הפתרון שהוצג הוא פתרון סימטרי, במובן שהזרימה מעל לגליל זהה לזרימה מתחתיו. עם זאת קיימים אינסוף פתרונות שמקיימים את תנאי השפה אך אינם סימטריים. פתרונות אלו נבנים באמצעות הוספת מערבולת מהצורה $\phi ={\frac {\Gamma \theta }{2\pi }}$, מערבולת כזו מקיימת $V_{r}=0;V_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$, ובפרט $\lim _{r\to \infty }V(r)=0$. משוואת לפלס היא ליניארית, ולכן מקיימת את עקרון הסופרפוזיציה, ולכן הוספת המערבולת לפתרון שמצאנו בסעיף לא תשנה את העובדה שהפתרון מקיים את תנאי השפה על שפת הגליל ובאינסוף. כלומר מתקבלים אינסוף פתרונות מהצורה:

$V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta$

ו-:

$V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +{\frac {\Gamma }{2\pi r}}$

הזרימה הזו מקיימת שהסירקולציה מסביב לכל לולאה המכילה את הראשית היא $\Gamma$.

הזרימה המתקבלת היא זרימה אי דחיסה, ואי רוטציונית בכל מקום במרחב למעט בראשית. לכן הזרימה היא אי-רוטציונית בתחום שאיננו פשוט קשר ומכאן שהיא לא יכולה להיות מתארת על ידי פונקציית פוטנציאל. נשים לב ש-$\phi$ אותה הגדרנו אינה חד ערכית ולכן אינה פונקציה. עם זאת, הפתרון שמתקבל הוא פתרון קביל למשוואת לפלס. במציאות, זרימה כזו היא קירוב לזרימה שתתקבל כאשר הגליל מסתובב סביב מרכזו, אם הגליל לא מסתובב אז הזרימה שתתקבל היא הזרימה הסימטרית.

לפתרון הכולל סירקולציה חשיבות רבה בתיאור הזרימה מסביב לכנף ז'וקובסקי, שהיא כנף אותה ניתן למפות לגליל באמצעות העתקה קונפורמית. עבור כנף זו היתן להראות שהדרך היחידה לקיים את תנאי קוטה היא להוסיף סירקולציה מסוימת לפתרון. הסירקולציה הזו היא הסירקולציה שתתגלה בזרימה מסביב לכנף ותיצור עילוי בהתאם למשפט קוטה-ז'וקובסקי.

השוואה עם הזרימה של זורם אמיתי מסביב לגליל

לסימטריה של הפתרון האידיאלי הזה יש תכונה מוזרה והיא שפועל כוח גרר כולל אפס על הגליל, תכונה שידועה כפרדוקס ד'אלמבר. שלא כמו במקרה של זרימה אידיאלית בלתי צמיגה, בזרימה צמיגה כנגד גליל תמיד תיווצר מעט ערבוליות בשכבת גבול דקה הצמודה לגליל, לא משנה כמה קטנה הצמיגות. במצב כזה, המנגנון של הפרדת שכבות זורם משפת הגליל מתחיל לשחק תפקיד, ושובל זנבי ייווצר בחלק האחורי של הגליל. הלחץ יהיה לפיכך נמוך יותר בצד של הגליל עם השובל, לעומת זה שבחזית הגליל, מה שיוצר כוח גרר בכיוון מורד הזרם.

ראו גם

• זרימה פוטנציאלית
• זרימה פוטנציאלית דו־ממדית