זרימה דחיסה חד-ממדית

זרימה חד־ממדית (באנגלית: One-dimensional flow או ‎1-D Compressible flow) היא זרימה דחיסה המתייחסת לזרימת גז דרך תעלה או צינור שבה ההנחה היא שפרמטרי הזרימה משתנים משמעותית רק לאורך ציר תנועה אחד, ציר אורך הצינור.

בניתוח זרימה חד־ממדית נלקחות כמה הנחות בחשבון:

1. יחס אורך הצינור לרוחבו (L/D) מקיים שהוא קטן/שווה מ-5 (על מנת להזניח חיכוך ומעבר חום בין הזורם לפנים הצינור).
2. הנחת זרימה תמידית\לאחר זמן ארוך לעומת זרימה שלא מתנהגת ככה ויש לה השפעות אחרות.
3. זרימה איזנטרופית (לדוגמה שהתהליך הפיך ואדיאבטי).
4. הנחת גז אידיאלי (לדוגמה משוואת המצב PV=RT).

נחירי לאבאל – נחירים עם מבנה מתכנס\מתרחב

כאשר מהירות הזורם מאיצה מהתחום התת־קולי לתחום העל־קולי, הפיזיקה של התנהגות זורם בדיפיוזר ונחיר משתנה. בשימוש בחוקי הזרימה ותרמו דינמיקה, הקשר הבא פותח לטובת ניתוח זרימה בצינור (שילוב של משוואת שימור המסה עם משוואת שימור המומנטום): $dP(1-M^{2})=(1/v)V^{2}(dA/A)$ כאשר dP הוא השינוי הדיפרנציאלי בלחץ, M הוא מספר מאך, ρ היא צפיפות הגז, V היא מהירות הזורם, A הוא שטח הצינור ו-dA הוא השינוי בשטח הצינור. המשוואה מראה שבעבור זרימה תת־קולית, צינור עם שטח חתך מתכנס (dA<0) מעלה את מהירות הזורם ואילו צינור עם שטח חתך מתרחב (dA>0) מוריד את מהירות הזורם. עבור זרימה על־קולית, התוצאה ההפוכה מתרחשת בגלל שינוי הסימן ($1-M^{2}$). כעת, צינור עם שטח חתך מתכנס (dA<0) מוריד את מהירות הזורם וצינור בעל שטח חתך מתרחב (dA>0) מעלה את מהירות הזורם. כאשר מספר מאך שווה ל־1, תרחשת תופעה מיוחדת הדורשת ששטח החתך יהיה מקסימלי או מינימלי. לטובת יישומים מעשיים, רק שטח חתך מינימלי יכול להאיץ זרימה לערך מאך שווה ל־1 ומעבר. מצורפת טבלה של נחירים ודיפיוזרים תת־קוליים שמשמשים למטרה זו.

טבלה זו מראה את ההיפוך בפיזיקה של נחיר או דיפיוזר עם השינוי במספר מאך

נחיר דה לאבאל

לכן, על מנת להאיץ זורם שערך מאך שלו יהיה שווה ל־1, יש לתכנן נחיר ששטחו יתכנס לשטח מינימלי מסוים ואז יתפשט. נחיר ספציפי זה, בעל שטח חתך מתכנס ואז מתפשט, נקרא על שם "גוסטף דה לאבאל" הממציא שלו, ועל כן נקרא זרימת דה לאוואל. כאשר זרימה תת־קולית נכנסת לחלק בצינור שבו שטח החתך מתכנס, הזורם מאיץ. לאחר מכן, עם הגעת הזורם לשטח החתך המינימלי של הצינור (החלק הידוע בשם "צוואר הצינור") הזורם יכול להגיע לערך מאך שווה 1. אם כן, אם מהירות הזורם תמשיך לעלות, הצפיפות שלו צריכה לרדת על מנת להיות עקביים עם חוק שימור המסה. כדי להשיג ירידה זו בצפיפות הזורם, הוא חייב להתפשט. על מנת להיות מסוגל לעשות כך, הזורם חייב לעבור בחלק הצינור שבו שטח החתך מתרחב. להלן תמונה של זרימה ב"נחיר דה לאבאל".

מהירות מקסימלית אפשרית של גז

בסופו של דבר, בגלל חוק שימור האנרגיה, גז תמיד מוגבל למהירות מקסימלית סופית המתבססת על תכולת האנרגיה שבו. המהירות המקסימלית $V_{(}max)$ שגז יכול לנוע בה היא $V_{(}max)=sqrt(2C_{p}T_{t})$ כאשר $C_{p}$ הוא קבוע החום הסגולי בלחץ קבוע ו-$T_{t}$ היא "טמפרטורת הסטגנציה" של הזורם.

טבלת קשרים בין זרימה איזנטרופית למספר מאך

היחסים בין זרימה איזנטרופית למספר מאך

בשימוש בחוקי התרמודינמיקה וחוקי השימור, ניתן למצוא מספר קשרים בצורת $Property_{1}/property_{2}=F(m,\gamma )$ כאשר M הוא מספר המאך ו-γ הוא יחס החומים הסגוליים (1.4 עבור אוויר).

הגעה למהירות על־קולית

כמו שהוסבר מקודם, על מנת שזורם יגיע למהירות על־קולית, הוא חייב לעבור תחילה בשטח החתך המתכנס בצינור או "צוואר הצינור". בנוסף, יחס לחצים כולל, שמורכב מהיחס בין הלחץ לפני הצוואר לעומת הלחץ אחרי הצוואר, שערכו צריך להיות 2 הוא תנאי הכרחי על מנת שהזורם יגיע למאך שווה 1. עם ההגעה למאך שווה 1, ניתן לכנות את הזרימה בצוואר הצינור כזרימה "חנוקה". הסיבה לכך היא ששינויים במורד הזרם יכולים לנוע רק לכיוון מעלה הזרם במהירות קולית ואילו כאן כאשר אנו במצב על־קולי, המסה שעוברת בנחיר לא יכולה להיות מושפעת משינויים במורד הזרם לאחר הגעה למצב זרימה "חנוקה". זרימה חנוקה היא מצב מגביל שמשמעותו שיש "רף עליון" עבור הספיקה המסית, ואפילו אם נמשיך ונגדיל את היחס בין הלחץ לפני הנחיר לעומת הלחץ מחוץ לנחיר, עדיין הספיקה המסית לא תשתנה.

זרימה חד־ממדית לא איזנטרופית של גז – גלי הלם נורמליים

גלי הלם נורמליים הם גלי הלם שניצבים לכיוון הזרימה המקומי. גלים אלו מתרחשים כאשר גלי הלם נאספים ומצטופפים ואז קורסים לגל הלם יחיד ודק במיוחד שממיר את אנרגיית הגלים לחום. גלים אלו מתגברים אחד על השני ובו בזמן מחזקים אחד את השני, פעולה היוצרת גל הלם סופי ממספר אין סופי של גלי קול. בגלל איבוד האנרגיה שמתרחש על גל ההלם הדק, הגל נחשב לא איזנטרופי והאנתלפיה עולה לאורך הגל. כאשר מנתחים גל הלם נורמלי, הנע בזרימה חד־ממדית, במצב מתמיד (לאחר זמן ארוך) ואדיאבטי (טמפרטורת סטגנציה לא משתנה לאורכו) ניתן להגיע להנחת גז אידיאלי.

[משוואות רנקין-הוגנוייט מקשרות בין התנאים לפני ואחרי גלי הלם נורמליים] גלי הלם נורמליים יתקיימו בשני תנאים:

1. כאשר הזרימה לפני גל ההלם היא על־קולית
2. כאשר הזרימה אחרי גל הלם נורמלי היא תת־קולית.

משוואות רנקין-הוגנוייט משמשות לפתרון הזרימה בתנאים אלו.

משוואות רנקין-הוגנוייט

זרימה חד־ממדית עם הכנסת חום או חיכוך למערכת

כאשר אנו מוסיפים חום לזורם הנע בתעלה, התופעה משפיעה על מהירות המאך: כאשר לזורם יש מאך מעל 1 (זרימה על־קולית) הוספת החום גורמת לירידה במספר מאך, עלייה בלחץ ועלייה בטמפרטורה ולגבי נתוני סטגנציה אנו מקבלים שלחץ הסטגנציה (נקודה שבה מהירות הזורם היא אפס) יורד ואילו טמפרטורת הסטגנציה עולה ולבסוף, מהירות הזורם יורדת. לעומת זאת, אם הזורם נמצא מתחת למאך שווה 1 (זרימה קולית) עם הוספת החום מספר המאך עולה, הלחץ יורד והטמפרטורה מתנהגת שונה עבור אזורים כאשר היחס בין החומים הסגוליים מעל ומתחת לערך מסוים. ובנוסף, המהירות עולה. ניתן לראות את השוני בתגובות כאשר מדברים על זורם שנמצא באזורים שונים של מספר מאך (1). ובצורה מקבילה רק הפוכה, ניתן להבין איך מתנהגת המערכת כאשר מוציאים חום מהמערכת. התנהגות הזורם בתנאים אלו הנה לשאוף ל־M=1 ועל כן ככל שנוסיף חום הזורם ישאף להתקרב למאך שווה 1 מ־2 הצדדים או ממאך גדול מ־1 או ממספר מאך קטן מ־1. בצורה דומה, ניתן לעשות את אותם שיקולים כאשר מתווספת לזרימה גם תוספת חיכוך. (2)

מקורות

• John D. Anderson, Jr., Modern Compressible Flow With Historical Perspective עמוד 108
• John D. Anderson, Jr., Modern Compressible Flow With Historical Perspective עמוד 116